para--Racah 哈密顿量作为 Pöschl--Teller 箱体的精确可解离散化
The para--Racah Hamiltonian as an exactly solvable discretization of the Pöschl--Teller box
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- Université de Montréal（蒙特利尔大学）
- Centre de recherches mathématiques, Université de Montréal（蒙特利尔大学数学研究中心）
- Laboratoire d’Annecy de Physique Théorique（阿讷西理论物理实验室）
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中文总结 AI 辅助
本文证明para--Racah哈密顿量在格点增长时收缩为Pöschl--Teller哈密顿量，通过递推和多项式合流建立联系，并揭示其代数结构从Racah代数降至Jacobi代数。
中文摘要 AI 辅助
para--Racah 哈密顿量是 para--Racah 多项式的 Jacobi 矩阵 $J$，取其等谱形变参数的 persymmetric 值：一个镜像对称的三对角矩阵，其谱是二次双格，即两个单位步长的交错算术级数的平方 $(s+a)^2$ 和 $(s+c)^2$，当网格参数 $a$ 和 $c$ 满足 Diophantine 条件时，它实现分数复兴。随着格点数增长，$J$ 收缩到有限区间上的三角 Pöschl--Teller 哈密顿量。我们两次建立了这一结果：一次在递推关系上，一次在多项式本身上，对于后者这是 Racah 到 Jacobi 的合流。两个网格参数都保留下来：$c-a$ 成为由镜像固定的内部点处的标量离心项——正是 para--Krawtchouk 原点的精确类似物——而 $a+c-1$ 在两端设置两个约束奇异壁，将谱变为二次对 $(t+a)^2,(t+c)^2$，具有 Jacobi 本征函数 $P_t^{(a+c-1,\mp(c-a))}$，两个子格收敛到两个族，它们仅因第二个 Jacobi 参数的符号不同而不同。$J$ 的镜像对称性变为关于中点的反射；它对两个族进行分级，并将分数复兴带到极限。在代数上，离散模型的双谱对生成 Racah 代数 $\mathfrak{r}_1$，变为 Jacobi 代数 $\mathfrak{j}_1$ 的一对生成元——在 Askey--Wilson 层级中下降一级——即 Pöschl--Teller 哈密顿量的动力学代数。
英文摘要
The para--Racah Hamiltonian is the Jacobi matrix $J$ of the para--Racah polynomials, taken at the persymmetric value of their isospectral deformation parameter: a mirror--symmetric tridiagonal matrix whose spectrum is a \emph{quadratic} bi--lattice, the squares $(s+a)^2$ and $(s+c)^2$ of two interlaced arithmetic progressions of unit step, and which carries out fractional revival when the grid parameters $a$ and $c$ satisfy a Diophantine condition. As the number of sites grows, $J$ contracts to the trigonometric \emph{Pöschl--Teller} Hamiltonian on a finite interval. We establish this twice: on the recurrence relation, and on the polynomials themselves, for which it is the confluence Racah~$\to$~Jacobi. Both grid parameters survive: $c-a$ becomes a scalar centrifugal term at the interior point fixed by the mirror --- the exact analogue of the para--Krawtchouk origin --- while $a+c-1$ sets two confining singular walls at the ends, which turn the spectrum into the quadratic pair $(t+a)^2,(t+c)^2$ with Jacobi eigenfunctions $P_t^{(a+c-1,\,\mp(c-a))}$, the two sublattices converging to two families that differ only by the sign of the second Jacobi parameter. The mirror symmetry of $J$ becomes the reflection about the midpoint; it grades the two families and carries the fractional revival to the limit. Algebraically, the bispectral pair of the discrete model, which generates the Racah algebra $\mathfrak{r}_1$, becomes a pair of generators of the Jacobi algebra $\mathfrak{j}_1$ --- one rung down the Askey--Wilson hierarchy --- the dynamical algebra of the Pöschl--Teller Hamiltonian.
