驯服 $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{m,n}$ 的归一化动力学下的 KMS 态与基态
KMS and ground states for the normalized dynamics of the tame $C^*$-algebras $\mathcal{O}_{m,n}$
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- Department of Mathematics and Center for Mathematical Analysis, Geometry and Dynamical Systems, CAMGSD, Instituto Superior Técnico, University of Lisbon（里斯本大学高等理工学院数学系与数学分析、几何与动力系统中心）
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中文总结 AI 辅助
本文研究驯服 $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{m,n}$ 在归一化动力学下的 KMS 态与基态，发现 $m=n$ 时与迹单纯形等同，$m\neq n$ 时仅 $\beta=1$ 存在不唯一 KMS 态，并通过共形分支模型将其与运输多面体建立满射联系。
中文摘要 AI 辅助
我们研究了 Ara、Exel 和 Katsura 的驯服 $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{m,n}$ 在动力学 $\sigma_t(s_i)=m^{it}s_i$，$\sigma_t(t_j)=n^{it}t_j$ 下的 KMS 态与基态。对由公共能量 $\log(n/m)$ 的部分等距 $v_{ij}=s_i^{*}t_j$ 生成的满角子代数 $A=q\mathcal{O}_{m,n}q$ 的归一化限制，在每个逆温度 $\beta$ 下都是两个系统的仿射弱-$*$ 同胚。设 $m,n\ge 2$。当 $m=n$ 时，角动力学是平凡的，因此 KMS 单纯形与迹单纯形等同。当 $m\neq n$ 时，KMS 态仅出现在 $\beta=1$，且在该处不唯一。共形分支模型将 KMS$_1$ 单纯形满射到维数为 $(m-1)(n-1)$ 的运输多面体上，其顶点提升为极值、因而是因子的 KMS$_1$ 态，每个顶点上的纤维本身是 $A$ 的某个商代数的 KMS$_1$ 单纯形。
英文摘要
We study KMS and ground states of the tame $C^*$-algebras $\mathcal{O}_{m,n}$ of Ara, Exel and Katsura under the dynamics $σ_t(s_i)=m^{it}s_i$, $σ_t(t_j)=n^{it}t_j$. Normalized restriction to the full corner $A=q\mathcal{O}_{m,n}q$, generated by the partial isometries $v_{ij}=s_i^{*}t_j$ of common energy $\log(n/m)$, is at each inverse temperature $β$ an affine weak-$*$ homeomorphism of the two systems. Let $m,n\ge 2$. When $m=n$ the corner dynamics is trivial, so the KMS simplices are identified with trace simplices. When $m\neq n$, KMS states occur only at $β=1$, and there they are not unique. Conformal branching models surject the KMS$_1$ simplex onto a transportation polytope of dimension $(m-1)(n-1)$, whose vertices lift to extremal, hence factorial, KMS$_1$ states, the fibre over each vertex being itself the KMS$_1$ simplex of a quotient of $A$.
