$\{x,x+y,xy\}$ 在整数中的密度正则性
Density regularity of $\{x,x+y,xy\}$ in the integers
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中文总结 AI 辅助
本文证明了整数上存在次可加密度，使每个正密度集合包含任意大的 $\{x,x+P(y),xy^s\}$ 配置，推广了 Moreira 的划分正则性结果至密度版本。
中文摘要 AI 辅助
固定 $s\in\mathbb{N}$。我们证明存在 $\mathbb{N}$ 上的一个次可加密度，使得对于每个满足 $P(0)=0$ 的多项式 $P\in\mathbb{Z}[y]$，每个正密度集合都包含形如 $\{x,x+P(y),xy^s\}$ 的配置，其中 $x>y\geq 2$ 且 $x$ 可以任意大。当 $s=1$ 时，这将对 $\{x,x+P(y),xy\}$ 的 Moreira 划分正则性结果加强为密度定理；当 $s>1$ 时，这产生了新的划分正则性结果。
英文摘要
Fix $k,s\in\mathbb{N}$. We prove that there exists a subadditive density on $\mathbb{N}$ such that, for every polynomial $P\in\mathbb{Z}[y]$ of degree $k$ and with $P(0)=0$, every set of positive density contains configurations $\{x,x+P(y),xy^s\}$ for arbitrarily large $x>y\geq 2$. This provides a density strengthening of Moreira's result on partition regularity for $\{x,x+y,xy\}$.
