Delannoy 格子的组合性质
Combinatorial aspects of the Delannoy Lattice
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中文总结 AI 辅助
本文引入并研究 Delannoy 格 $\mathcal{D}_n$，通过对称布尔分解证明其对称布尔序性质，恢复 $\gamma$-正性，并细化对称链分解以确定极大反链，同时探讨超可解性等组合性质。
中文摘要 AI 辅助
Delannoy 数 $d(n,k)$ 计数从 $(0,0)$ 到 $(n-k,k)$ 使用步长 $(1,0),(0,1)$ 和 $(1,1)$ 的格路。本文引入一个分级偏序集 $\mathcal{D}_n$，其元素为终止于直线 $x+y=n$ 上的 Delannoy 路，其秩生成函数为 Delannoy 多项式 $d_n(x)=\sum_{k=0}^n d(n,k)x^k$。我们证明 $\mathcal{D}_n$ 是一个自对偶格，称之为 Delannoy 格。通过建立显式的对称布尔分解，我们证明 $\mathcal{D}_n$ 是一个对称布尔序，从而恢复 $d_n(x)$ 的 $\gamma$-正性。该分解被细化成具有链覆盖性质的对称链分解，并用于确定所有极大反链。我们还研究了 $\mathcal{D}_n$ 的其他组合性质，包括超可解性、Möbius 数、特征多项式和 zeta 多项式。
英文摘要
The Delannoy numbers $d(n,k)$ count lattice paths from $(0,0)$ to $(n-k,k)$ using steps $(1,0),(0,1)$ and $(1,1)$. This paper introduces a graded poset $\mathcal{D}_n$ on the Delannoy paths ending on the line $x+y=n$, whose rank-generating function is the Delannoy polynomial $d_n(x)=\sum_{k=0}^n d(n,k)x^k$. We prove that $\\mathcal{D}_n$ is a self-dual lattice, which is call the Delannoy lattice. By establishing an explicit symmetric Boolean decomposition, we show that $\mathcal{D}_n$ is a symmetric Boolean order, thereby recovering the $γ$-positivity of $d_n(x)$. Such a decomposition is refined to a symmetric chain decomposition with the chain cover property, and is applied to determine all maximum antichains. We also investigate other combinatorial aspects of $\mathcal{D}_n$, including supersolvability, the Möbius number, characteristic polynomials, and zeta polynomials.
发表机构
- School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology（大连理工大学数学科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
