发表机构
Tsinghua University（清华大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明了 $r$-叉无叉集族的最大大小为 $\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}(1+2(r-1)/n+o(n^{-1}))$，确定了二阶项，并通过相邻中间层的块构造给出了匹配下界。
AI 中文摘要
若 $[n]$ 的一个子集族中没有任何成员被其他 $r$ 个不同成员严格包含，则称该族为 $r$-叉无叉族。对于每个固定的整数 $r\ge2$，我们证明这样的族的最大大小为 \\[ \binom{n}{\lfloor n/2\rfloor} \left(1+\frac{2(r-1)}{n}+o(n^{-1})\right). \\] 这确定了二阶项，并与 De Bonis 和 Katona 的上界匹配。我们的下界来自一个在两个相邻中间层上的构造，使用有限有序的不相交坐标块集合以及模 $n$ 的和条件。对于每个给定的误差，这些块在 $n$ 趋于无穷之前就已固定，因此该构造对所有足够大的 $n$ 都成立。
英文摘要
A family of subsets of $[n]$ is $r$-fork-free if none of its members is strictly contained in $r$ other distinct members. For each fixed integer $r\ge2$, we prove that the maximum size of such a family is \[ \binom{n}{\lfloor n/2\rfloor} \left(1+\frac{2(r-1)}{n}+o(n^{-1})\right). \] This determines the second-order term and matches the upper bound of De Bonis and Katona. Our lower bound comes from a construction on two adjacent middle levels, using a finite ordered collection of disjoint coordinate blocks and a condition on sums modulo $n$. For each prescribed error, the blocks are fixed before $n$ tends to infinity, so the construction works for every sufficiently large $n$.
