$\sigma$-遗传闭包保持 $\mathcal I$-$sn$-网络、$\mathcal I$-$sn$-可度量化性与局部HCP有限性
$σ$-hereditarily closure-preserving $\mathcal I$-$sn$-networks, $\mathcal I$-$sn$-metrizability, and local HCP-finiteness
- School of Mathematics and Statistics, Hanjiang Normal University（汉江师范大学数学与统计学院）
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AI总结：
本文肯定回答了关于正则空间具有 $\sigma$-遗传闭包保持 $\mathcal I$-$sn$-网络时 $\mathcal I$-$sn$-可度量化的问题，通过局部可数性定理解决，并探讨了局部HCP有限性的保持与反例。
AI中文摘要：
设 $\mathcal I$ 为 $\mathbb N$ 上的一个容许理想。Zhou、Liu、Liu 和 Lin 询问：是否每个具有 $\sigma$-遗传闭包保持 $\mathcal I$-$sn$-网络的正则空间都是 $\mathcal I$-$sn$-可度量化的。对于每个容许理想，答案都是肯定的。证明依赖于一个局部可数性定理。若 $y_n\to_{\mathcal I}x$ 且 $\{n\mid y_n\ne x\}\in\mathcal I^+$，则 $x$ 的每个点离散的 $\mathcal I$-序列邻域族都是可数的。在 $T_1$ 空间中，这特别适用于每个 HCP 族。若没有 $\mathcal I$-收敛到 $x$ 的序列具有 $\mathcal I$-正支撑且离开 $x$，则 $\{x\}$ 是 $x$ 的一个 $\mathcal I$-序列邻域。由此可知，每个具有 $\sigma$-点离散 $\mathcal I$-$sn$-网络的空间都是 $\mathcal I$-$snf$-可数的。这一结论连同 Ge 以及 Zhou、Liu、Liu 和 Lin 的刻画定理，解决了问题 5.2。可数性界一般不能加强为有限性。一个可数的 Rudin--Keisler 反链自由超滤子给出了一个容许理想，使得局部 HCP 有限性不成立。每个 $P^{-}$ 理想都具有局部 HCP 有限性。关于 Fubini 积、在交叉行 Katětov 吸收下的异质 Fubini 和以及适当的递增并的保持定理将局部 HCP 有限性推广到 $P^{-}$ 类之外。它们适用于 $\mathrm{Fin}$ 的有限 Fubini 幂、Katětov 的第一极限阶段理想 $\mathrm{Fin}^{\omega}$ 及其有限后继、树导出的秩-$\omega$ 理想 $\mathcal H_{<\omega}$ 以及归纳极限理想 $\mathrm{Fin}_{\omega}$。除 $\mathrm{Fin}$ 外，列出的每个例子都不满足 $P^{-}$。
英文摘要：
Let $\mathcal I$ be an admissible ideal on $\mathbb N$. Zhou, Liu, Liu, and Lin asked whether every regular space with a $σ$-hereditarily closure-preserving $\mathcal I$-$sn$-network is $\mathcal I$-$sn$-metrizable. The answer is affirmative for every admissible ideal. The proof rests on a local countability theorem. If $y_n\to_{\mathcal I}x$ and $\{n\mid y_n\ne x\}\in\mathcal I^+$, then every point-discrete family of $\mathcal I$-sequential neighborhoods of $x$ is countable. In a $T_1$ space, this applies in particular to every HCP family. If no $\mathcal I$-convergent sequence to $x$ has $\mathcal I$-positive support away from $x$, then $\{x\}$ is an $\mathcal I$-sequential neighborhood. It follows that every space with a $σ$-point-discrete $\mathcal I$-$sn$-network is $\mathcal I$-$snf$-countable. This conclusion, together with the characterization theorems of Ge and of Zhou, Liu, Liu, and Lin, settles Problem 5.2. The countability bound cannot in general be strengthened to finiteness. A countable Rudin--Keisler antichain of free ultrafilters gives an admissible ideal for which local HCP-finiteness fails. Every $P^{-}$ ideal has local HCP-finiteness. Preservation theorems for Fubini products, heterogeneous Fubini sums under cross-row Katětov absorption, and suitable increasing unions extend local HCP-finiteness beyond the $P^{-}$ class. They apply to the finite Fubini powers of $\mathrm{Fin}$, Katětov's first limit-stage ideal $\mathrm{Fin}^ω$ and its finite successors, the tree-derived rank-$ω$ ideal $\mathcal H_{<ω}$, and the inductive-limit ideal $\mathrm{Fin}_ω$. Every listed example other than $\mathrm{Fin}$ fails $P^{-}$.
