发表机构
Princeton University（普林斯顿大学）
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本文证明各向同性对数凹分布的多项式矩不等式为平方和，消除庞加莱常数依赖，获得最优矩界，并由此得到高维统计估计的维度无关误差高效算法。
AI 中文摘要
对于在 $\mathbb{R}^d$ 上的任意各向同性对数凹分布 $P$，我们证明对于每个偶数 $m\ge2$，多项式 $(Cm)^m\\|v\\|_2^m - \mathbb{E}_{X\sim P}\langle X,v\rangle^m$ 是平方和，其中 $C>0$ 是一个普适常数。这消除了Kothari和Steinhardt（arXiv:1711.07465）定理中对庞加莱常数的依赖，恢复了对数凹分布的最优矩界。作为直接推论，我们获得了针对广泛高维统计估计问题的具有维度无关误差保证的计算高效算法。我们的证明使用随机局部化将 $P$ 分解为随机强对数凹测度的平均值，其中心矩具有Diakonikolas、Hopkins、Pensia和Tiegel（STOC 2025；arXiv:2410.21194）的次高斯证书。通过协方差自适应的局部化选择，我们表明由Letwin关于二次型的方差不等式（arXiv:2607.24164）导出的四阶矩证书足以在每个偶数度上控制这种平均。
英文摘要
We prove that for every isotropic log-concave distribution $P$ on $\mathbb{R}^d$ and every even $m\ge2$, the polynomial $(Cm)^m\|v\|_2^m - \mathbb{E}_{X\sim P}\langle X,v\rangle^m$ is a sum of squares, where $C>0$ is a universal constant. This improves on the Poincaré-dependent bounds (Kothari and Steinhardt, 2017), recovering the optimal moment bounds for log-concave distributions. As an immediate corollary, we obtain computationally efficient algorithms with dimension-free error guarantees for a wide range of statistical estimation problems. Our proof proceeds by using stochastic localization to decompose $P$ as an average of strongly log-concave measures, whose centered moments admit the subgaussian certificates (Diakonikolas et al., 2025). With a covariance-adapted choice of localization, we show that a fourth-moment certificate derived from the variance inequality for quadratic forms (Letwin, 2026) suffices to control this averaging at every even degree.
