带梯度项的$m$-Laplace方程 I：第二次临界情形下的Liouville定理
The $m$-Laplace equation with a gradient term I: Liouville theorem in the second subcritical case
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中文总结 AI 辅助
研究$m$-Laplace方程带梯度项的正弱解的Liouville性质，在第二子临界条件下证明解必为常数，并填补了$m=2$时$0<q<1$范围的空白。
中文摘要 AI 辅助
设$1<m<n$，$q>0$，且$p\in\mathbb R$。我们研究方程\\[-\Delta_m u=u^p|Du|^q\qquad\text{在 }\mathbb R^n\\]的正的$C^1_{\mathrm{loc}}$弱解。若$0<q<m-1$，我们证明：当\\[p+q-m+1<\frac{(m-1)(m-q)^2}{(n-m)(m-1-q)}\\]时，每个这样的解都是常数。若$q\geqslant m-1$，则对每个$p\in\mathbb R$，同样的结论成立。对于$0<q<m$，证明使用一个辅助函数，将主要微分估计归结为对某个单变量函数的下界估计。然后通过显式构造和局部最大值原理论证，在不跨越$\{|Du|=0\}$进行微分的情况下证明常值性。当$m=2$时，我们的结果回答了Bidaut-Véron、García-Huidobro和Véron在$0<q<1$整个范围内留下的自然Liouville问题。情形$q=m$通过因变量的递增变换处理，其思想与Bidaut-Véron的相关工作一致，而情形$q>m$则可由Lu和Zhu的定理得出。
英文摘要
Let $1<m<n$, $q>0$, and $p\in\mathbb R$. We study positive $C^1_{\mathrm{loc}}$ weak solutions of \[-Δ_m u=u^p|Du|^q\qquad\text{in }\mathbb R^n.\] If $0<q<m-1$, we prove that every such solution is constant provided \[p+q-m+1<\frac{(m-1)(m-q)^2}{(n-m)(m-1-q)}.\] If $q\geqslant m-1$, the same conclusion holds for every $p\in\mathbb R$. For $0<q<m$, the proof uses an auxiliary function and reduces the main differential estimate to a lower bound for a function of one variable. An explicit construction and a local maximum-principle argument then prove constancy without differentiating across $\{|Du|=0\}$. When $m=2$, our result answers the natural Liouville problem left open by Bidaut-Véron, García-Huidobro and Véron for the whole range $0<q<1$. The case $q=m$ is handled by an increasing change of the dependent variable, in the spirit of the related work of Bidaut-Véron, while the case $q>m$ follows from the theorem of Lu and Zhu.
