发表机构
University of Michigan; New York University（密歇根大学; 纽约大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究两个均匀分布之间满足单侧约束的鞅输运问题，构造了使一类凸导数代价函数最优的耦合，并通过对偶不等式证明其最优性，同时指出约束下支撑条件不充分。
AI 中文摘要
我们最小化 $\mathbb E[h(Y-X)]$，其中鞅耦合连接 $\text{Unif}[-1,1]$ 和 $\text{Unif}[-2,2]$，并满足 $Y\geq X-k$，这里 $h\in C^1([-3,3])$ 具有凸导数。可行性恰好当 $k\geq1$ 时成立。对于每个这样的 $k$，我们构造一个耦合，使得该类别中的所有代价函数均被最小化。对于 $1<k<3$，其支撑由两个图组成，其中 $D(x)=x-k$ 在 $[k-2,1]$ 上成立。这些映射在 $2\leq k<3$ 时具有显式参数化，而在 $1<k<2$ 时由具有唯一可容许根的标量方程确定。我们通过对偶不等式证明最优性，在后一范围内使用解析估计。在 $k=1$ 时，最优解为 $Y=X\pm1$ 且概率相等；对于 $k\geq3$，则为普通左帘耦合。在无约束问题中，左单调性识别出左帘耦合，该耦合对此代价类别是最优的。在约束下，一个离散例子表明，相应的支撑条件即使连同每个双源比较，也不蕴含最优性。
英文摘要
We minimize $\mathbb E[h(Y-X)]$ over martingale couplings of $\text{Unif}[-1,1]$ and $\text{Unif}[-2,2]$ satisfying $Y\geq X-k$, where $h\in C^1([-3,3])$ has convex derivative. Feasibility holds exactly for $k\geq1$. For each such $k$, we construct a coupling that minimizes all costs in this class. For $1<k<3$, its support consists of two graphs, with $D(x)=x-k$ on $[k-2,1]$. The maps admit an explicit parametrization for $2\leq k<3$ and are determined by scalar equations with unique admissible roots for $1<k<2$. We prove optimality by a dual inequality, using an analytic estimate in the latter range. At $k=1$ the optimizer is $Y=X\pm1$ with equal probabilities; for $k\geq3$ it is the ordinary left-curtain coupling. In the unconstrained problem, left-monotonicity identifies the left-curtain coupling, which is optimal for this cost class. Under the constraint, a discrete example shows that the corresponding support condition, even together with every two-source comparison, does not imply optimality.
