发表机构
School of Mathematical sciences, Beihang University; Department of Mathematics, The City University of New York - NYC College OF Technology（北京航空航天大学数学科学学院; 纽约市立大学纽约城市技术学院数学系）
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本文基于已知的曲率积分上界，证明了两类具有下界曲率流形的数量曲率积分不等式，涉及渐近体积比和球体积比，推广了曲率与体积的定量关系。
AI 中文摘要
根据论文\cite{Pet2009upper}和\cite{LiNan2026}，我们知道存在常数$C(n)>0$，使得对于任意完备的紧致或非紧致、无边界的具有非负截面曲率的n维黎曼流形$M$，以及任意$R>0$，有$R^{2-n}\int_{B(p,R)} Scal \le C(n)$。基于此结果，我们将证明：（1）存在常数$C(n)$。若$M$是完备的、n维的、非紧致的具有非负截面曲率的黎曼流形，则对任意$p\in M$，$R>0$，有$R^{2-n}\int_{B(p,R)} Scal \\ dvol \le C(n)(1-v(M))$，其中$Scal$为数量曲率，$v(M)=\lim\limits_{R\to \infty} \frac{volB(p,R)}{volB(0,R)}$为渐近体积比。（2）存在常数$C(n)$。若$M$是完备的、n维的、截面曲率$\ge 1$的黎曼流形，则$\int_M (Scal-n(n-1)) \\ dvol \le C(n)(1-\frac{vol(M)}{vol(S^n(1))})$。
英文摘要
By the paper \cite{Pet2009upper}, \cite{LiNan2026}, we know that there exists $C(n)>0$, for any complete compact or non-compact Riemannian n manifold $M$ with non-negative sectional curvature, without boundary and any $R>0$, \begin{equation} R^{2-n}\int_{B(p,R)} Scal \le C(n). \end{equation} Based on this result, we will prove that (1) There exists constant $C(n)$. If $M$ is a complete, n dimensional, non-compact Riemannian manifold with non-negative sectional curvature, then for any $p\in M$, $R>0$, \begin{equation} R^{2-n}\int_{B(p,R)} Scal \ dvol \le C(n)(1-v(M)), \end{equation} where $Scal$ is the scalar curvature and $v(M)=\lim\limits_{R\to \infty} \frac{volB(p,R)}{volB(0,R)}$ is the asymptotic volume ratio. (2) There exists constant $C(n)$. If $M$ is a complete, n dimensional Riemannian manifold with sectional curvature $\ge 1$, then \begin{equation} \int_M (Scal-n(n-1)) \ dvol \le C(n)(1-\frac{vol(M)}{vol(S^n(1))}). \end{equation}
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