发表机构
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该研究证明了在不等粘性与热扩散率的分层 Couette 流周围，3D Boussinesq 方程在特定初始扰动条件下具有全局存在性，并建立了零模态的 Strichartz 型估计及非线性放大机制。
AI 中文摘要
我们建立了在 $\mathbb{T}\times\mathbb{R}^2$ 上，具有线性分层温度分布 $1+y$ 的 Couette 流 $(y,0,0)$ 周围的 3D Boussinesq 方程的稳定性阈值，其中粘性 $\kappa$ 与热扩散率 $\mu$ 不同，且 Brunt-Väisälä 频率 $\beta>0$ 任意。假设 $\mu$ 与 $\kappa$ 相当，并设 $\nu=\min\{\kappa,\mu\}$。对于足够小的 $a_0>0$ 和 $s\geq4$，我们证明：若初始扰动满足 $\\|(u_{in},\theta_{in})\\|_{H^s}+\\|(u_{0,in},\theta_{0,in})\\|_{W^{s,1}}\lesssim\nu^{\frac{2}{3}} |\ln{\nu}|^{-2-2a_0}$，则相应的解在时间上全局存在。我们还为零模态建立了 Strichartz 型估计。此外，我们的估计进一步允许第一分量 $u^1_0$ 的零模态的高正则范数出现 $\nu^{-1/6}$ 阶的非线性放大。
英文摘要
We establish a stability threshold for the 3D Boussinesq equations around Couette flow $(y,0,0)$ with linearly stratified temperature profile $1+y$ on $\mathbb{T}\times\mathbb{R}^2$, with distinct viscosity $κ$ and thermal diffusivity $μ$ and arbitrary Brunt-Väisälä frequency $β>0$. Assume that $μ$ and $κ$ are comparable, and set $ν=\min\{κ,μ\}$. For sufficiently small \(a_0>0\) and \(s\geq4\), we prove that if the initial perturbation satisfies $\|(u_{in},θ_{in})\|_{H^s}+\|(u_{0,in},θ_{0,in})\|_{W^{s,1}}\lesssimν^{\frac{2}{3}} |\lnν|^{-2-2a_0}$, then the corresponding solution exists globally in time. We also establish Strichartz-type estimates for zero mode. Moreover, our estimates further allow for a nonlinear amplification of order $ν^{-1/6}$ in the high-regularity norm of the zero mode of the first component $u^1_0$.
