发表机构
School of Computer Science and Technology, Dongguan University of Technology（东莞理工学院计算机学院）
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本文确定了 $F^-_{4,3}$ 的精确 Turán 数，给出唯一极值构型为平衡完全二分 $3$-图，并推广了 $F_{3,3}$ 的结果，解决了相关猜想。
AI 中文摘要
对于一个 $3$-图 $F$，$F$ 的 Turán 数，记作 $\ex(n,F)$，是在 $n$ 个顶点上不含与 $F$ 同构的子图的 $3$-图中所能包含的最大边数。设 $F^-_{4,3}$ 是由一个完整的四顶点核心和三个外部顶点构成的 $3$-图，其中十二个三元组中除一个外，其余每个三元组都包含一个核心顶点和两个外部顶点。我们证明，对于每个 $n\ge8$，\\[ \ex(n,F^-_{4,3})=\binom n3-\binom{\lfloor n/2\rfloor}{3}-\binom{\lceil n/2\rceil}{3}，\\] 且平衡的完全二分 $3$-图是唯一的极值构型。这确定了 Mubayi 和 Rödl 渐近定理中的精确值及所有等式情形。它也推广了 $F_{3,3}$ 的精确 Turán 数，并解决了 Frankl、Huang 和 Rödl 的一个猜想。
英文摘要
For a $3$-graph $F$, the Turán number of $F$, denoted by $\ex(n,F)$, is the maximum number of edges in a $3$-graph on $n$ vertices containing no subgraph isomorphic to $F$. Let $F^-_{4,3}$ be the $3$-graph formed by a complete four-vertex core and three outer vertices, with all but one of the twelve triples containing one core vertex and two outer vertices. We prove that, for every $n\ge8$, \[ \ex(n,F^-_{4,3})=\binom n3-\binom{\lfloor n/2\rfloor}{3}-\binom{\lceil n/2\rceil}{3}, \] and the balanced complete bipartite $3$-graph is the unique extremal configuration. This determines the exact value and all equality cases in the asymptotic theorem of Mubayi and Rödl. It also extends the exact Turán Number of $F_{3,3}$ and resolves a conjecture of Frankl, Huang and Rödl.
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