$\mathbb{Z}^d$ 上渗流与 Ising 模型中无限簇的共存
Coexistence of infinite clusters for percolation and Ising model on $\mathbb{Z}^d$
- Tsinghua University（清华大学）
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AI总结：
本文证明在 $\mathbb{Z}^d$ 上，当维度足够高且参数接近临界值时，渗流和 Ising 模型的无限簇补集或 $+$ 自旋随机占优超临界位点渗流，改进了已有结果。
AI中文摘要：
对于 $\mathbb{Z}^d$ 上参数为 $p$ 的独立键渗流，设 $p_c^b(d)$ 为临界概率。我们证明，对于每个 $d \geq 9$，存在 $\epsilon_d>0$，使得对于每个 $p \in (p_c^b(d), p_c^b(d)+\epsilon_d)$，无限开簇的补集随机占优于 $\mathbb{Z}^d$ 上的超临界位点渗流。这改进了 Grimmett、Holroyd 和 Kozma 2014 年以及 Bock、Damron、Newman 和 Sidoravicius 2020 年的先前结果。$p_c^b(d)$ 和 $p_c^s(d)$（位点临界概率）的数值估计表明，类似的随机占优结果对所有 $d \geq 4$ 成立。对于 $\mathbb{Z}^d$ 上逆温度 $\beta$ 的 Ising 模型，设 $\beta_c(d)$ 为临界逆温度。我们证明，对于每个 $d \geq 8$，存在 $\epsilon_d>0$，使得对于每个 $\beta \in [0,\beta_c(d)+\epsilon_d)$，负相下的 $+$ 自旋随机占优于 $\mathbb{Z}^d$ 上的超临界位点渗流。这改进了 Aizenman、Bricmont 和 Lebowitz 1987 年的先前结果。$\beta_c(d)$ 和 $p_c^s(d)$ 的数值估计表明，类似的随机占优结果对所有 $d \geq 5$ 成立。
英文摘要：
For independent bond percolation on $\mathbb{Z}^d$ with parameter $p$, let $p_c^b(d)$ be the critical probability. We prove that for each $d \geq 9$, there is $ε_d>0$ such that for each $p \in (p_c^b(d), p_c^b(d)+ε_d)$, the complement of the infinite open cluster stochastically dominates a supercritical site percolation on $\mathbb{Z}^d$. This improves the previous results by Grimmett, Holroyd and Kozma 2014, and Bock, Damron, Newman and Sidoravicius 2020. Numerical estimates of $p_c^b(d)$ and $p_c^s(d)$ (the site critical probability) suggest that a similar stochastic domination result holds for all $d \geq 4$. For the Ising model on $\mathbb{Z}^d$ with inverse temperature $β$, let $β_c(d)$ be the critical inverse temperature. We prove that for each $d \geq 8$, there is $ε_d>0$ such that for each $β\in [0,β_c(d)+ε_d)$, the $+$ spins under the minus phase stochastically dominate a supercritical site percolation on $\mathbb{Z}^d$. This improves the previous result of Aizenman, Bricmont and Lebowitz 1987. Numerical estimates of $β_c(d)$ and $p_c^s(d)$ suggest that a similar stochastic domination result holds for all $d \geq 5$.
