有限域平方中的同余类：通过能量方法的精确结果
Congruence Classes in $\mathbb{F}_p^2$: Sharp Results via an Energy Approach
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中文总结 AI 辅助
本文通过能量方法研究有限域平面中不同点有序元组的同余类大小，对$k=3,4$及$k\geq5$分别给出下界，其中$k=4$和$k\geq5$的结果在相应意义下是精确的。
中文摘要 AI 辅助
设$T_k(E)$表示$E$中两两不同的有序$k$元组的同余类集合。设$p\equiv3\pmod4$为素数。对于满足$3\leq|E|\leq p^{3/4}$的$E\subset\mathbb{F}_p^2$，我们证明$|T_3(E)|\gg|E|^{11/6}$；对于满足$4\leq|E|\leq p^{3/4}$的$E$，我们证明$|T_4(E)|\gg|E|^3/\log|E|$。对于每个固定的$k\geq5$且$k\leq|E|\leq p^{3(k-2)/(3k-4)}$，我们证明$|T_k(E)|\gg_k|E|^{k-1}$。证明通过界定刚体运动重叠函数的矩来进行。主要输入是一个涉及距离能量的精确恒等式，以及通过将刚体运动视为$\mathbb{F}_p(i)$上的直线而获得的关联界。$k=4$的界在相差对数因子的意义下是精确的，而$k\geq5$的界在相差常数的意义下是精确的。
英文摘要
Let $T_k(E)$ denote the set of congruence classes of ordered $k$-tuples of pairwise distinct points of $E$. Let $p\equiv3\pmod4$ be prime. For $E\subset\mathbb{F}_p^2$ with $3\leq|E|\leq p^{3/4}$, we prove that $|T_3(E)|\gg|E|^{11/6}$; for $4\leq|E|\leq p^{3/4}$, we prove that $|T_4(E)|\gg|E|^3/\log|E|$. For every fixed $k\geq5$ and $k\leq|E|\leq p^{3(k-2)/(3k-4)}$, we prove that $|T_k(E)|\gg_k|E|^{k-1}$. The proofs proceed by bounding the moments of the overlap function of rigid motions. The main inputs are an exact identity involving the distance energy and an incidence bound obtained by viewing rigid motions as lines over $\mathbb{F}_p(i)$. The bound for $k=4$ is sharp up to a logarithmic factor, while the bounds for $k\geq5$ are sharp up to constants.
发表机构
- Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）
- Vietnam Education Strategy and Policy Institute（越南教育战略与政策研究所）
- Department of Mathematics, Missouri State University（密苏里州立大学数学系）
- VNU University of Science, Hanoi, Vietnam（越南国家大学河内大学自然科学学院）
- Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
