修正波算子对于 $p\neq 2$ 在 $L^p$ 上无界
Modified wave operators are unbounded on $L^p$ for $p\neq 2$
- The University of Tokyo（东京大学）
- Kyushu University（九州大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本研究证明一维薛定谔算子的修正波算子在 $L^p$ 空间上除 $p=2$ 外无界，并针对慢衰减势给出中高能量部分有界性的完整分类。
AI中文摘要：
我们研究一维中与薛定谔算子 $P=-\partial_x^2 + V$ 相关联的 Isozaki--Kitada 型修正波算子的 $L^p$ 有界性，其中势 $V$ 包括长程势，例如负类库仑势 $V(x) = -(1+|x|^2)^{-\mu/2}$（$\mu>0$）。对于此类势，若 $\mu \in (1, 2)$，我们证明中能量和高能量部分在 $L^p(\mathbb{R})$ 上对任意 $p \in [1, \infty]$ 有界，但低能量部分除 $p=2$ 外无界。此外，若 $\mu \in (0, 1]$，我们表明即使中能量部分除 $p=2$ 外也无界。实际上，关于中能量和高能量区域的 $L^p$ 有界性，我们给出了慢衰减势的完整分类，且不施加任何符号条件。
英文摘要：
We study the $L^p$-boundedness of Isozaki--Kitada type modified wave operators associated with Schrödinger operators $P=-\partial_x^2 + V$ in one dimension for potentials $V$ including long-range potentials such as negative Coulomb-like ones $V(x) = -(1+|x|^2)^{-μ/2}$ for $μ>0$. For such potentials, if $ μ\in (1, 2)$, we prove that the middle and the high energy parts are bounded on $L^p (\mathbb{R})$ for any $p \in [1, \infty]$ but the low energy part is unbounded except for $p=2$. Moreover, if $μ\in (0, 1]$, we show that even the middle energy part is unbounded except for $p=2$. Actually, regarding the $L^p$-boundedness in the middle and the high energy regimes, we give a complete classification of slowly decaying potentials without imposing any sign condition.
