Gödel--Löb 可证性逻辑在有限导出序数拓扑上的完备性
Completeness of the Gödel--Löb Provability Logic for Finite Derived Ordinal Topologies
- School of Mathematics, Institute for Research in Fundamental Sciences (IPM)（基础科学研究院数学学院）
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AI总结：
本文在假设 GCH 和存在带相干测度序列的可测基数下，构造保持共尾性和 GCH 的力迫扩张，证明有限导出序数拓扑的 Gödel--Löb 逻辑完备性，并扩展 Beklemishev 定理至双模态逻辑。
AI中文摘要：
我们研究序数上有限导出拓扑的 Gödel--Löb 可证性逻辑 $\mathbf{GL}$。假设 GCH 以及存在一个可测基数 $\kappa$，它携带一个相干的正则测度序列 $\vec{U}$，满足 $o^{\vec{U}}(\kappa)\geq\kappa$，我们得到一个保持共尾性和 GCH 的力迫扩张，在其中对于每个 $n<\omega$，$\text{Log}_d(\kappa,\tau_n)=\mathbf{GL}$，其中 $\tau_n$ 是第 $n$ 个导出拓扑。该结果回答了一个著名的开放问题。扩展 Beklemishev 定理，我们证明在同一模型中，对于每个 $k<\omega$，$\text{Log}_d(\kappa;\tau_{2k},\tau_{2k+1})=\mathbf{GLP}_2$，其中 $\mathbf{GLP}_2$ 的两个模态分别由 $d_{2k}$ 和 $d_{2k+1}$ 解释。
英文摘要：
We study the Gödel--Löb provability logic $\mathbf{GL}$ for finite derived topologies on the ordinals. Assuming GCH and the existence of a measurable cardinal $κ$ which carries a coherent sequence of normal measures $\vec{U}$ with $o^{\vec{U}}(κ)\geqκ$, we obtain a cofinality and GCH preserving generic extension in which $\text{Log}_d(κ,τ_n)=\mathbf{GL}$ for every $n<ω$, where $τ_n$ is the $n$-th derived topology. The result answers a well-know open question. Extending Beklemishev's theorem, we show that in the same model, for every $k<ω$, $ \text{Log}_d(κ;τ_{2k},τ_{2k+1})=\mathbf{GLP}_2, $ where the two modalities of $\mathbf{GLP}_2$ are interpreted respectively by $d_{2k}$ and $d_{2k+1}$.
