发表机构
Università degli Studi dell’Insubria（因苏布里亚大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究当集合 $B$ 稀疏时，和集 $A+B$ 的渐近密度可取值的范围，给出了 $B$ 满足一定增长条件时密度可任意取值的充分条件，并构造了反例说明在较宽松条件下密度只能取 $0$ 或 $1$。
AI 中文摘要
设 $\mathsf{d}$ 为正整数集 $\mathbb{N}^+$ 上的渐近密度。我们给出无限集 $B\subseteq \mathbb{N}^+$ 的充分条件，使得对每个 $\alpha \in [0,1]$，存在集合 $A\subseteq \mathbb{N}^+$ 满足 $\mathsf{d}(A)=0$ 且 $\mathsf{d}(A+B)=\alpha$。例如，若 $(b_n: n \in \mathbb{N}^+)$ 是 $B$ 的递增枚举，则 $\liminf_n b_{n+1}/b_n>1$ 是充分的。此外，我们证明，若对某个 $\varepsilon>0$ 有 $|B\cap [1,n]|\ll \log(n)^{1-\varepsilon}$，则对每个 $\alpha \in [0,1]$ 存在集合 $A\subseteq \mathbb{N}^+$ 使得 $\mathsf{d}(A)=\mathsf{d}(A+B)=\alpha$。反之，我们证明，对每个 $\varepsilon>0$，存在无限集 $B\subseteq \mathbb{N}^+$ 使得 $|B\cap [1,n]| \ll n^{2/3+\varepsilon}$ 且对每个 $A\subseteq \mathbb{N}^+$，若 $A+B$ 有渐近密度，则 $\mathsf{d}(A+B) \in \{0,1\}$。
英文摘要
Let $\mathsf{d}$ be the asymptotic density on the positive integers $\mathbb{N}^+$. We provide sufficient conditions on an infinite set $B\subseteq \mathbb{N}^+$ so that for each $α\in [0,1]$ there exists a set $A\subseteq \mathbb{N}^+$ such that $\mathsf{d}(A)=0$ and $\mathsf{d}(A+B)=α$. For instance, if $(b_n: n \in \mathbb{N}^+)$ is the increasing enumeration of $B$, it is sufficient that $\liminf_n b_{n+1}/b_n>1$. Moreover, we show that, if $|B\cap [1,n]|\ll \log(n)^{1-\varepsilon}$ for some $\varepsilon>0$, then for each $α\in [0,1]$ there exists a set $A\subseteq \mathbb{N}^+$ such that $\mathsf{d}(A)=\mathsf{d}(A+B)=α$. Conversely, we show that, for each $\varepsilon>0$, there exists an infinite set $B\subseteq \mathbb{N}^+$ such that $|B\cap [1,n]| \ll n^{2/3+\varepsilon}$ and $\mathsf{d}(A+B) \in \{0,1\}$ for every $A\subseteq \mathbb{N}^+$ such that $A+B$ admits asymptotic density.
