在 $S^4$ 上分离 Schur 乘子的算子范数与完全有界范数的最优方阵尺寸
Optimal square size for separating the operator and completely bounded norms of Schur multipliers on $S^4$
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中文总结 AI 辅助
本文确定了在 $S^4$ 上 Schur 乘子算子范数与完全有界范数分离所需的最小方阵尺寸为三，并给出了具体乘子的范数不等式及解析与计算机辅助验证。
中文摘要 AI 辅助
我们确定了在 $S^4$ 上 Schur 乘子的算子范数与完全有界范数能够产生差异的最小方阵尺寸。更精确地，对于 $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\\\1&-2&0\\\\2&2\mathrm{i}&0\end{bmatrix}$，我们证明 \\[ \\|M_A\\|_{S^4_3\to S^4_3}^2\leq\frac{1119}{250} <\left(\frac{18983532}{947485}\right)^{1/2} \leq \\|\mathrm{Id}_{S^4_2}\otimes M_A\\|_{S^4_6\to S^4_6}^2. \\] 我们还证明了在 $S^4$ 上不存在 $2\times2$ Schur 乘子使其算子范数与完全有界范数不等，因此方阵尺寸三是最优的。此外，我们解析地确定了前述乘子的精确普通范数，并给出了一个独立的计算机辅助证明，验证了一个有理上界。
英文摘要
We determine the smallest square size at which the operator norm and the completely bounded norm of a Schur multiplier on $S^4$ can differ. More precisely, for $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\1&-2&0\\2&2\mathrm{i}&0\end{bmatrix}$ we prove \[ \|M_A\|_{S^4_3\to S^4_3}^2\leq\frac{1119}{250} <\left(\frac{18983532}{947485}\right)^{1/2} \leq \|\mathrm{Id}_{S^4_2}\otimes M_A\|_{S^4_6\to S^4_6}^2. \] We also prove that no $2\times2$ Schur multiplier can have unequal operator and completely bounded norms on $S^4$, so square size three is optimal. In addition, we determine the exact ordinary norm of the previous multiplier analytically and give an independent computer-assisted certification of a rational upper bound.
