代数几何中的Cartan行列式
Cartan Determinants in algebraic geometry
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本文提出dg-范畴的Cartan行列式正性猜想，并证明对一大类光滑射影簇（奇数维或偶数维满足数值Hodge标准猜想）其Perf范畴的数值Cartan行列式为正。
中文摘要 AI 辅助
我们利用数值Grothendieck群提出了Cartan行列式猜想的dg-范畴类比。设$D$是代数闭域$k$上的光滑真dg范畴。$K_0(D)$上的Euler配对在数值Grothendieck群$K_{\mathrm{num}}(D)$上诱导出一个非退化双线性型，从而定义了数值Cartan行列式$\det M_\chi(D)$。经典Cartan行列式猜想预测对于有限维光滑代数$A$，$\det M_\chi(A)=1$，但对于一般光滑真dg范畴，这一等式不再被期望成立。然而，我们提出以下正性猜想：$\det M_\chi(D)>0$。我们的主要结果证明了当$D=\operatorname{Perf}(X)$且$X$属于一大类光滑射影簇时，该正性成立。更精确地，我们证明若$\dim X$为奇数，或$X$为偶数维且满足数值Hodge标准猜想，则$\det M_\chi(X)>0$。
英文摘要
We formulate a dg-categorical analogue of the Cartan determinant conjecture using numerical Grothendieck groups. Let $D$ be a smooth proper dg category over an algebraically closed field $k$. The Euler pairing on $K_0(D)$ descends to a nondegenerate bilinear form on the numerical Grothendieck group $K_{\mathrm{num}}(D)$, and hence defines a numerical Cartan determinant $\det M_χ(D)$. While the classical Cartan determinant conjecture predicts that $\det M_χ(A)=1$ for finite-dimensional smooth algebras $A$, this equality is no longer expected for general smooth proper dg categories. However, we propose the following positivity question: $\det M_χ(D)>0.$ Our main result proves this positivity when $D=\operatorname{Perf}(X)$ for a large class of smooth projective varieties $X$. More precisely, we show that $\det M_χ(X)>0$ if either $\dim X$ is odd, or $X$ has even dimension and satisfies the numerical Hodge standard conjecture.
