大素数 $p$ 下 $rx^m+p^e f(x)$ 的可约性
Reducibility of $rx^m+p^e f(x)$ for Large Primes $p$
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中文总结 AI 辅助
本文研究 $rx^m+p^ef(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的可约性，给出因子次数与 $\gcd(e,m,n)$ 的关系，并针对 $e=2,3$ 提供基于二元二次型或三次型的有效判据，其中二次型归结为 Pell 方程，三次型由 Thue 定理保证可约素数有限。
中文摘要 AI 辅助
我们研究 $F_{p,e}(x)=rx^m+p^ef(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的可约性，其中 $r\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$，$f\in\mathbb{Z}[x]$，$0\le m<n:=\mathrm{deg}\\, f$，对于高于显式依赖于系数的阈值的素数 $p$。对于任意 $e\ge1$，我们确定了所有非常数真整因子的次数、端点 $p$-进赋值、模 $p$ 约化以及高度。记 $\delta=\gcd(e,m,n)$，我们证明每个这样的因子具有 $tn/\delta$ 的次数，其中 $1\le t\le\delta-1$；特别地，$\delta=1$ 蕴含不可约性。对于 $e=2$ 和 $e=3$，我们分别获得了至多两个相关的二元二次型和至多一个相关的二元三次型的有效充分必要条件。二次型判据归结为至多两个具有指定第二坐标 $p$ 的固定 Pell 型方程。在三次情形下，Thue 定理保证了当相关形式在 $\mathbb{Q}$ 上不可约时可约素数有限。
英文摘要
We study the reducibility over $\mathbb{Q}$ of $F_{p,e}(x)=rx^m+p^ef(x)$, where $r\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$, $f\in\mathbb{Z}[x]$, and $0\le m<n:=\mathrm{deg}\, f$, for primes $p$ above explicit coefficient-dependent thresholds. For arbitrary $e\ge1$, we determine the degrees, endpoint $p$-adic valuations, reductions modulo $p$, and heights of all nonconstant proper integral factors. Writing $δ=\gcd(e,m,n)$, we show that every such factor has degree $tn/δ$ for some $1\le t\leδ-1$; in particular, $δ=1$ implies irreducibility. For $e=2$ and $e=3$, we obtain effective necessary and sufficient criteria in terms of at most two associated binary quadratic forms and at most one associated binary cubic form, respectively. The quadratic criterion reduces to at most two fixed Pell-type equations with prescribed second coordinate $p$. In the cubic case, Thue's theorem yields finiteness of the reducible primes whenever the associated form is irreducible over $\mathbb{Q}$.
发表机构
- School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University（广州大学数学与信息科学学院）
- School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Foreign Studies（广东外语外贸大学数学与统计学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
