发表机构
Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文改进Peck定理，证明在更宽条件（权重满足特定约束）下，存在无穷多个整数Q使代数数同时逼近不等式成立，部分解决Peck猜想，并改进2004年de Mathan和Teulié关于非阿基米德赋值的相关结果。
AI 中文摘要
设 $n$ 为满足 $n\ge2$ 的整数，$E$ 为 ${\mathbb Q}$ 上次数为 $n+1$ 的实代数数域。设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 为 $E$ 中的实数，使得 $(1,\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ 是 $E$ 在 ${\mathbb Q}$ 上的一组线性基。设 $\nu_1, \ldots, \nu_{n-1}$ 为满足 $$0<\max_{1\le i\le n-1}\nu_i\le2\min_{1\le i\le n-1}\nu_i,\quad \nu_1+ \ldots +\nu_{n-1}=1.$$ 的实数。我们证明存在一个仅依赖于 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 的实数 $C$，以及无穷多个满足不等式 $$Q^{1/n}\Vert Q\alpha_i\Vert \le C (\log Q)^{-\nu_i}, \quad 1\le i\le n-1, \quad Q^{1/n}\Vert Q\alpha_n\Vert\le C.$$ 的整数 $Q \ge 2$。这部分回答了 Peck 的一个猜想，Peck 在 1961 年证明了在 $\nu_1 = \ldots = \nu_{n-1} = 1/ (n-1)$ 的特殊情形下的该结论。我们还改进了 de Mathan 和 Teulié 在 2004 年关于涉及非阿基米德赋值的联立丢番图逼近问题的一个结果。
英文摘要
Let $n$ be an integer with $n\ge2$, and let $E$ be a real algebraic number field of degree $n+1$ over ${\mathbb Q}$. Let $α_1, \ldots , α_n$ be real numbers in $E$ such that $(1,α_1,\ldots,α_n)$ is a linear basis of $E$ over ${\mathbb Q}$. Let $ν_1, \ldots, ν_{n-1}$ be real numbers satisfying $$0<\max_{1\le i\le n-1}ν_i\le2\min_{1\le i\le n-1}ν_i,\quad ν_1+ \ldots +ν_{n-1}=1. $$ We establish that there exist a real number $C$, depending only on $α_1, \ldots , α_n$, and infinitely many integers $Q \ge 2$ satisfying the inequalities $$Q^{1/n}\Vert Qα_i\Vert \le C (\log Q)^{-ν_i}, \quad 1\le i\le n-1, \quad Q^{1/n}\Vert Qα_n\Vert\le C.$$ This answers partially a conjecture of Peck, who proved in 1961 this statement in the particular case where $ν_1 = \ldots = ν_{n-1} = 1/ (n-1)$. We also improve a result from 2004 of de Mathan and Teulié on a question of simultaneous Diophantine approximation involving a non-Archimedean valuation.
Comments18 pages
