AI 中文总结
本文为李群胚定义加权形变构造，以研究 Helffer-Nourrigat 猜想，确保微分算子具有可逆符号，并推广了 Mohsen 与 van Erp-Yuncken 的既有结果。
AI 中文摘要
设 $G \rightrightarrows G^{(0)}$ 为李群胚，$\mathrm{A} G \rightarrow G^{(0)}$ 为其李代数胚，$X_1, \dots, X_r$ 为 $\mathrm{A} G$ 的一族截面，满足 Hörmander 型的李括号生成条件。我们旨在构建一个伪微分运算，以研究关于群胚 $G$ 的 Helffer-Nourrigat 猜想；特别地，我们希望形如 $\sum_{i = 1}^r X_i^2$ 的微分算子具有可逆符号。在本文中，我们通过定义到法锥 $\mathrm{DNC}(G, G^{(0)}) \rightrightarrows G^{(0)} \times \mathbb{R}_+$ 的形变的“加权”版本，实现了这一构造的几何部分。启发式地，我们在 $G^{(0)}$ 附近形变 $G$，使用“缩放”参数 $t \in \mathbb{R}_+$，通过在截面 $X_i$ 的方向上将 $G$ 拉伸 $t$ 倍，沿 $[X_i, X_j]$ 拉伸 $t^2$ 倍，沿 $[X_i, [X_j, X_k]]$ 拉伸 $t^3$ 倍等。在 $G = M \times M$ 的情形下，我们恢复了 Mohsen 的构造；当结构为等正则时，我们恢复了 van Erp-Yuncken 的构造。
英文摘要
Let $G \rightrightarrows G^{(0)}$ be a Lie groupoid, $\mathrm{A} G \rightarrow G^{(0)}$ its Lie algebroid and $X_1, \dots, X_r$ a family of sections of $\mathrm{A} G$ satisfying a Lie bracket generating condition of Hörmander type. We aim to build a pseudodifferential calculus allowing to study a Helffer-Nourrigat's conjecture on the groupoid $G$; in particular, we want differential operators of the form $\sum_{i = 1}^r X_i^2$ to have an invertible symbol. In this article we achieve the geometrical part of this construction by defining a "weighted" version of the deformation to the normal cone $\mathrm{DNC}(G, G^{(0)}) \rightrightarrows G^{(0)} \times \mathbb{R}_+$. Heuristically, we deform $G$ around $G^{(0)}$ with a "zoom" parameter $t \in \mathbb{R}_+$ by stretching $G$ by $t$ in the directions of the sections $X_i$, $t^2$ along $[X_i, X_j]$, $t^3$ along $[X_i, [X_j, X_k]]$ etc. In the case where $G = M \times M$ we recover a construction of Mohsen, and when the structure is equiregular we recover a construction of van Erp-Yuncken.
