自相似集与测度的绝对连续性和维数守恒
Absolute continuity of projections and dimension conservation for self-similar sets and measures
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中文总结 AI 辅助
本文证明在旋转生成稠密子群的自相似集上，其正交投影具有正勒贝格测度且纤维维数守恒，通过应用 Varjú 的 L² 估计于 L¹ 平滑增量，无需均匀谱隙假设。
中文摘要 AI 辅助
设 $A\subset\mathbb{R}^d$，$d\ge3$，为一个自相似集，其定义的旋转生成 $\mathrm{SO}(d)$ 的一个稠密子群。对于每个整数 $1\le k<\dim_{\mathrm{H}} A$，我们证明其正交投影 $\pi_V A$ 具有一致正的 $k$ 维勒贝格测度，并且其纤维在投影图像的勒贝格几乎处处点上具有豪斯多夫维数 $\dim_{\mathrm{H}} A-k$。这源于一个关于等压缩自相似测度 $\mu$ 的绝对连续性定理，该测度满足相同的旋转假设，并且对于某个 $t>k$ 具有有限 $t$ 能量。每个投影测度 $(\pi_V)_*\mu$ 具有密度 $f_V$，满足当 $M\to\infty$ 时，$\int_{\{f_V>M\}}f_V\\,d\mathcal{L}_V^k\lesssim e^{-c(\log M)^{1/3}}$，且该估计在 $V$ 上一致成立。在强分离条件下，纤维上的条件测度几乎必然具有精确维数 $\dim_{\mathrm{H}}\mu-k$。关键新颖之处在于将 Varjú 的 $L^2$ 估计在稠密旋转下应用于类似鞅差的 $L^1$ 平滑增量，如同研究傅里叶衰减那样。该方法不需要均匀谱隙假设。
英文摘要
Let $A\subset\mathbb{R}^d$, $d\geq3$, be the attractor of a self-similar IFS whose rotations generate a dense subgroup of $\mathrm{SO}(d)$. For every $1\leq k<\dim_{\mathrm{H}} A$ and $V\in\mathrm{Gr}(d,k)$, we prove that $π_VA$ has positive $k$-dimensional Lebesgue measure uniformly in $V$, and $\dim_{\mathrm{H}}(A\capπ_V^{-1}\{y\})=\dim_{\mathrm{H}} A-k$ for Lebesgue-almost every $y\inπ_VA$. Moreover, if $μ$ is a self-similar measure for such an IFS with $I_t(μ)<\infty$ for some $k<t<d$, then every $μ_V=(π_V)_*μ$ is equivalent to the $k$-dimensional Lebesgue measure restricted to $π_VA$, with density $f_V$ satisfying $\sup_V\int_{\{f_V>M\}}f_V\,d\mathcal{L}_V^k\lesssim e^{-c(\log M)^{1/3}}$. Under strong separation, the conditional measures on the fibres are exact dimensional of dimension $\dim_{\mathrm{H}}μ-k$. The proof uses self-similarity to iterate $L^1$ norms of differences of the Gaussian-smoothing of $μ_V$ between scales. Unlike $L^q$, $q>1$, the $L^1$ norm does not grow under rescaling, allowing Varjú's $L^2$ weak gap theorem under dense support condition to be used, and avoiding to use the much stronger uniform spectral gap assumption.
发表机构
- The University of Manchester（曼彻斯特大学）
- University of Helsinki（赫尔辛基大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
