具有无界扩散、漂移和势项椭圆算子的热核下界

中文摘要 AI 辅助

我们建立了椭圆算子$\Lambda=(1+|x|^\alpha)\Delta +b|x|^{\alpha-2}x\cdot\nabla-|x|^\beta$的热核的点态下界，其中$d\geq3$，$\alpha>2$，$\beta>\alpha-2$，且$b\in\mathbb R$。对于每个$\tau>0$，我们证明对所有$t\geq\tau$和$|x|,|y|\geq1$，有$$ \begin{aligned} p(t,x,y) &\geq C_\tau e^{\lambda_0t} \left(\frac{1+|y|^\alpha}{1+|x|^\alpha}\right)^{\frac{b}{2\alpha}} \frac{(|x||y|)^{-\frac{d-1}{2}-\frac{\beta-\alpha}{4}}}{1+|y|^\alpha}\\\\ &\quad\times\exp \left[ -\int_1^{|x|}\sqrt{\frac{s^\beta}{1+s^\alpha}}\\,\mathrm ds -\int_1^{|y|}\sqrt{\frac{s^\beta}{1+s^\alpha}}\\,\mathrm ds \right] \end{aligned} $$，其中$\lambda_0<0$是$\Lambda$的最大特征值，$C_\tau>0$与$t,x,y$无关。证明采用了加权对称设定中的经典Davies-Simon论证。

英文摘要

We establish a pointwise lower bound for the heat kernel of the elliptic operator $ Λ=(1+|x|^α)Δ+b|x|^{α-2}x\cdot\nabla-|x|^β$, where $d\geq3$, $α>2$, $β>α-2$, and $b\in\mathbb R$. For every $τ>0$, we prove that $$ \begin{aligned} p(t,x,y) &\geq C_τe^{λ_0t} \left(\frac{1+|y|^α}{1+|x|^α}\right)^{\frac{b}{2α}} \frac{(|x||y|)^{-\frac{d-1}{2}-\frac{β-α}{4}}}{1+|y|^α}\\ &\quad\times\exp \left[ -\int_1^{|x|}\sqrt{\frac{s^β}{1+s^α}}\,\mathrm ds -\int_1^{|y|}\sqrt{\frac{s^β}{1+s^α}}\,\mathrm ds \right] \end{aligned} $$ for all $t\geqτ$ and $|x|,|y|\geq1$, where $λ_0<0$ is the largest eigenvalue of $Λ$ and $C_τ>0$ is independent of $t,x,y$. The proof applies the classical Davies - Simon argument in a weighted symmetric setting.

发表机构

• Université Laval（拉瓦尔大学）
• Laboratoire de Mathématiques Appliquées, Université Ferhat Abbas, Sétif 1（费拉特·阿巴斯塞提夫第一大学应用数学实验室）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。