发表机构
Avignon Université; Université Paris Cité, CNRS, MAP5; Ecole Centrale Nantes, Nantes Université, Laboratoire de Mathématiques Jean Leray UMR CNRS 6629（阿维尼翁大学; 巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，MAP5; 南特中央理工学院，南特大学，让·勒雷数学实验室）
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本文针对随机设计和高斯误差下的一维回归问题，在不对设计或误差做先验假设的通用框架下，采用分段多项式的最小二乘惩罚策略，推导显式惩罚项并建立风险界，同时提出维度跳跃校准算法的改编以实现完全数据驱动的自适应估计。
AI 中文摘要
本文研究了随机设计和高斯误差下的一维回归问题。我们的框架非常通用：我们不对设计（可能非平稳且表现出短程或长程相依）做任何先验假设，也不假设误差是等方差的。我们详细考察了误差过程表现出短程或长程相依的情况。我们采用最小二乘惩罚策略，使用分段多项式来估计回归函数，遵循Baron、Birgé和Massart [1999]的框架。我们推导出显式惩罚项（直至校准常数），以获得自适应估计量，并为其建立风险界。由于这些惩罚项依赖于误差过程的相依性质，而后者在实践中是未知的，我们提出了维度跳跃校准算法的几种改编，以使我们的程序完全数据驱动。
英文摘要
In this work, we study the one-dimensional regression problem under random design and Gaussian errors. Our framework is very general: we make no prior assumptions about the design (which may be nonstationary and exhibit short or long-range dependence), nor do we assume that the errors are homoscedastic. We examine in detail the cases where the error process exhibits short or long-range dependence. We adopt a least-squares penalized strategy using piecewise polynomials to estimate the regression function, following the framework of Baron, Birg{é} and Massart [1999]. We derive explicit penalties, up to calibration constants, to obtain adaptive estimators for which we establish risk bounds. Since these penalties depend on the dependence properties of the error process, which are unknown in practice, we propose several adaptations of the dimension jump calibration algorithm to make our procedures fully data-driven.
