$p$ 和 $rp$ 谱元方法用于二维椭圆边界层问题
$p$ and $rp$-Spectral Element Methods for Two-dimensional Elliptic Boundary Layer Problems
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中文总结 AI 辅助
针对二维矩形域椭圆边界层问题，提出 $p$ 和 $rp$ 谱元方法，通过最小二乘泛函和稳健预条件子，实现高效稳健的边界层捕获，并给出收敛速率和数值验证。
中文摘要 AI 辅助
我们针对二维矩形域上的椭圆边界层问题提出了 $p$ 和 $rp$ 谱元方法。为了解析边界层，我们使用固定网格的 $p$ 版本，以及由边界层附近细针状单元和远离边界层的粗单元组成的边界层网格的 $rp$ 版本。使用非协调谱元函数推导了稳定性估计。两种方法的数值方案均基于在适当的 Sobolev 范数中最小化最小二乘泛函。我们构造了稳健的预条件子来管理由最小二乘公式导出的正规方程的 condition number。该方法能够以 $O\left(\frac{\log W}{W^2}\right)$ 的速率逼近边界层（对于 $p$ 版本），并以 $O({\epsilon}\alpha^{2W})$ 的速率（对于 $rp$ 版本）在 $\epsilon$ 上一致地逼近，其中 $0<\epsilon\leq1$ 是边界层参数，$\alpha<1$ 是常数，$W$ 表示逼近多项式的次数。针对一系列边界层参数，提供了模型椭圆边界层问题的数值结果。模拟结果证明了该方法在矩形域上捕获边界层的效率和稳健性。
英文摘要
We propose $p$ and $rp$-spectral element methods for elliptic boundary layer problems on two dimensional rectangular domains. To resolve boundary layers, we use $p$-version with a fixed mesh and an $rp$-version with a boundary layer mesh consisting of thin needle-like elements near the boundary layer and coarse elements away from the layer. Stability estimates are derived using non-conforming spectral element functions. The numerical scheme for both the methods is based on minimising a least-squares functional in appropriate Sobolev norms. We construct robust preconditioners to manage the condition number of the normal equations derived from the least-squares formulation. The method is able to approximate boundary layers at a rate $O\left(\frac{\log W}{W^2}\right)$ for the $p$-version and at the rate $O(εα^{2W})$, uniformly in $ε$, for the $rp$-version, where $0<ε\leq1$ is the boundary layer parameter, $α<1$ is a constant and $W$ denotes the degree of the approximating polynomial. Numerical results are provided for model elliptic boundary layer problems for a range of boundary layer parameters. Simulation results demonstrate the efficiency and robustness of the method in capturing boundary layers on rectangular domains.
发表机构
- Jamia Millia Islamia（贾米亚米利亚伊斯兰大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
