矩阵空间问题的对偶性
Duality for matrix space questions
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中文总结 AI 辅助
本文通过一个对偶性论证，给出了迪厄多内定理（奇异矩阵线性空间维数至多n²-n）的新证明，并利用模型论推广到所有域，展示了该方法推广的潜力。
中文摘要 AI 辅助
我们给出了迪厄多内一个经典定理的新证明：如果一个由 $n\ imes n$ 矩阵构成的线性空间完全由奇异矩阵组成，那么其维数至多为 $n^2-n$。我们的证明基于一个令人惊讶的“对偶性”论证：我们通过展示一个作为相关问题下界的单一矩阵空间来证明这个普遍上界。有趣的是，这种方法仅对某些域有效，但我们使用模型论论证来对所有域获得相同结果。我们希望这种方法能够推广，为矩阵空间的其他经典定理提供基于对偶性的新证明，并在此方向上给出一些初步结果。
英文摘要
We present a new proof of a classical theorem of Dieudonné: if a linear space of $n\times n$ matrices consists entirely of singular matrices, then its dimension is at most $n^2-n$. Our proof is based on a surprising ``duality'' argument: we prove this universal upper bound by exhibiting a single matrix space that serves as a lower bound for a related problem. Interestingly, this approach only works for certain fields, but we use model-theoretic arguments to obtain the same result for all fields. We hope that this approach can be generalized to provide new duality-based proofs of other classical theorems on matrix spaces, and give some preliminary results in this direction.
发表机构
- IST Austria（奥地利科学技术研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
