发表机构
School of Science, Xihua University（西华大学理学院）
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该论文通过球谐分解和高斯型庞加莱不等式，为二阶加权海森堡不确定性原理建立了尖锐稳定性估计，给出了显式稳定性常数及其可达性的充要条件，并推广了已有结果。
AI 中文摘要
通过使用球谐分解和高斯型庞加莱不等式，我们为以下二阶加权海森堡不确定性原理建立了若干尖锐稳定性估计：\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N} \\!\frac{|\Delta u|^2} {|x|^{2\alpha}} \mathrm{d}x \int_{\mathbb{R}^N} |x|^{2\alpha+2}|\nabla u|^2\mathrm{d}x \geq \frac{(N+4\alpha+2)^2}{4} \left(\int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u|^2 \mathrm{d}x\right)^2, \end{equation*} 以及 \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{N}} \frac{|\Delta u|^{2}} {|x|^{2\alpha}} \mathrm{d}x +\int_{\mathbb{R}^{N}} \left|x\right|^{2\alpha+2} |\nabla u|^{2}\mathrm{d}x \ge\left(N+4\alpha+2\right) \int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla u|^{2}\mathrm{d}x. \end{equation*} 我们还提供了尖锐稳定性常数可达性的显式值以及必要且充分的条件。此外，当 $\alpha=0$ 时，我们的结果归结为 [\emph{Calc. Var. Partial Differential Equations} \textbf{64} (2025), Paper No. 129]、[\emph{J. Funct. Anal.} \textbf{290} (2026), Paper No. 111321] 和 [arXiv:2510.00453] 中的结果。
英文摘要
By using spherical harmonicas decomposition and Gaussian-type Poincaré inequalities, we establish several sharp stability estimates for the following second-order weighted Heisenberg Uncertainty Principle \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N} \!\frac{|Δu|^2} {|x|^{2α}} \mathrm{d}x \int_{\mathbb{R}^N} |x|^{2α+2}|\nabla u|^2\mathrm{d}x \geq \frac{(N+4α+2)^2}{4} \left(\int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u|^2 \mathrm{d}x\right)^2, \end{equation*} and \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{N}} \frac{|Δu|^{2}} {|x|^{2α}} \mathrm{d}x +\int_{\mathbb{R}^{N}} \left|x\right|^{2α+2} |\nabla u|^{2}\mathrm{d}x \ge\left(N+4α+2\right) \int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla u|^{2}\mathrm{d}x. \end{equation*} We also provide the explicit value and the necessary and sufficient condition for attainability of the sharp stability constants. Moreover, when $α=0$, our results reduce into those of [\emph{Calc. Var. Partial Differential Equations} \textbf{64} (2025), Paper No. 129], [\emph{J. Funct. Anal.} \textbf{290} (2026), Paper No. 111321] and [arXiv:2510.00453].
