发表机构
Mathematical Institute, Tohoku University（东北大学数学研究所）
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本文研究至多六个交叉的双曲纽结的扭曲 Alexander 不变量，发现其渐近行为可检测纽结补空间的复体积，并据此提出 Goda 渐近体积公式的复化类比。
AI 中文摘要
设 $K$ 为双曲纽结，$\rho_n$ 为其和乐表示的一个提升诱导的 $n$ 维不可约表示。受 Goda 渐近体积公式和复化体积猜想的启发，我们研究与 $\rho_n$ 相关的高维扭曲 Alexander 不变量是否能检测纽结补空间的复体积。我们计算了所有至多六个交叉的双曲纽结的表达式 $$ \frac{\pi}{2} \log \left( \frac{A_{K,n-2}(1)A_{K,n+2}(1)} {A_{K,n}(1)^2} \right) $$。数值实验表明，这些值在模 $i\pi^2\mathbb{Z}$ 下趋近于 $$ \operatorname{Vol}(S^3\setminus K) +i\\,2\pi^2\operatorname{CS}(S^3\setminus K) $$。基于这些计算，我们提出了 Goda 渐近体积公式的一个复化类比。
英文摘要
Let $K$ be a hyperbolic knot and let $ρ_n$ be the $n$-dimensional irreducible representation induced from a lift of its holonomy representation. Motivated by Goda's asymptotic volume formula and the complexified Volume Conjecture, we study whether the higher-dimensional twisted Alexander invariants associated with $ρ_n$ detect the complex volume of the knot complement. We compute $$ \fracπ{2} \log \left( \frac{A_{K,n-2}(1)A_{K,n+2}(1)} {A_{K,n}(1)^2} \right) $$ for all hyperbolic knots with at most six crossings. Our numerical experiments indicate that these values approach $$ \operatorname{Vol}(S^3\setminus K) +i\,2π^2\operatorname{CS}(S^3\setminus K) $$ modulo $iπ^2\mathbb{Z}$. Based on these computations, we propose a complexified analogue of Goda's asymptotic volume formula.
Comments14 pages, 4 figures
