发表机构
School of Science, China University of Mining and Technology-Beijing; Department of Mathematics, Beijing Institute of Technology（中国矿业大学（北京）理学院; 北京理工大学数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明了标准环面上Schrödinger极大估计在临界正则性阈值 \\(s=d/(d+2)\\) 处的尖锐性，通过构造仿射同余类频率的数据，否定了低于该阈值时的几乎处处收敛性，并给出无界演化及对数上界等结果。
AI 中文摘要
我们否定了在标准环面 \\(\mathbb{T}^d\\) 上，对于初始数据 \\(f\in H^s(\mathbb{T}^d)\\)，当 \\(s<d/(d+2)\\) 时，Schrödinger 演化在几乎所有点上的收敛性，这一结论对所有维度 \\(d\ge2\\) 成立。我们构造了频率大小为 \\(N\\) 的归一化数据，其演化在一个具有一致正测度的集合上达到大小 \\(N^{d/(d+2)}\\)。构造的关键在于频率位于一个仿射同余类中，因此在适当的理性时刻，它们的相位在一族分离良好的空间点上重合。该结果与已知的 \\(s>d/(d+2)\\)（\\(d\ge2\\)）时的估计相匹配。通过整数膨胀和一致有界性，我们还获得了 \\(H^s\\) 中的一个单一数据，当 \\(s<d/(d+2)\\) 时，其演化沿着一列趋于零的时刻是无界的。我们还记录了在临界频率幂次下二维中的对数上界，以及收缩时间区间上的下界。
英文摘要
We disprove almost everywhere convergence of the Schrödinger evolution on the standard torus \(\mathbb{T}^d\) for initial data \(f\in H^s(\mathbb{T}^d)\) when \(s<d/(d+2)\), in all dimensions \(d\ge2\). We construct normalized data with frequencies of size $N$ whose evolution attains size $N^{d/(d+2)}$ on a set of uniformly positive measure. The key ingredient in the construction is that the frequencies lie in an affine congruence class, so that at suitable rational times their phases coincide on a family of well-separated spatial points. The result matches the known estimate for $s>d/(d+2)$ with $d\geq2$. By integer dilation and uniform boundedness, we also obtain a single datum in $H^s$ whose evolution is unbounded along a sequence of times tending to zero whenever $s<d/(d+2)$. We also record a logarithmic upper bound in $2D$ at the critical frequency power and a lower bound on shrinking time intervals.
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