发表机构
Central China Normal University; Guangzhou University; Zhoukou Normal University（华中师范大学; 广州大学; 周口师范学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究一般谱 Cantor 测度的谱特征值问题，发现其与 Artin 原始根猜想密切相关，结果支持该猜想并印证 Minkowski 的观点。
AI 中文摘要
对于紧支撑在实数集 R 上的概率测度 μ，其特征值问题是：是否存在一个可数集合 Λ 和一个非零实数 t≠1，使得 Λ 和 tΛ 都是 μ 的谱，即族 E_{aΛ}={e^{-2πi a λ x}: λ∈Λ} 在 a=1 和 a=t 时均为 L^2(μ) 的标准正交基。该特征值问题分别由 Strichartz (2000) 和 Łaba 与 Wang (2002) 针对 Cantor 测度 μ_{4,{0,1}} 和 μ_{6,{0,1,2}} 独立发现。本文研究一般谱 Cantor 测度 μ_{b,𝒟} 的谱特征值问题。该主题自然与初等数论相关，但出乎意料的是，我们的主要结果依赖于整数理论，尤其是 Artin 原始根猜想。在一定程度上，我们的结果暗示 Artin 原始根猜想可能成立，并证实了 Minkowski 在 1957 年文献中隐含的一些观点。
英文摘要
The eigenvalue problem for a probability measure $μ$ with compact support in $\R$ is whether there exist a countable set $Λ$ and a nonzero real $t\ne 1$ such that both $Λ$ and $tΛ$ are spectra of $μ$, that is, the family $$E_{aΛ}=\{e^{-2πi aλx}:λ\inΛ\}$$ is an orthonormal base for $L^2(μ)$ for $a=1, t$. The eigenvalue problem was discovered independently by Strichartz (Str00), Laba and Wang (LW02) for the Cantor measures $μ_{4,\{0,1\}}$ and $μ_{6,\{0,1,2\}}$, respectively. In this paper, we investigate the spectral eigenvalue problem for the general spectral Cantor measure $μ_{b,\mathcal{D}}$. This topic is naturally related to elementary number theory. Unexpectedly, however, our main results depend on the theory of integers, especially Artin's primitive root conjecture. To some extent, our results suggest that Artin's primitive root conjecture may hold and confirms some viewpoints implied by Minkowski in (Min57).
