正迹间隙猜想的证明
Proof of the positive trace gap conjecture
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中文总结 AI 辅助
本文证明了PSL₂(R)或PSL₂(C)中的格具有正迹间隙当且仅当它来源于可容许四元数代数，解决了Sarnak猜想，并将结果推广到SL_d(R)（d≥3），此时正迹间隙等价于所有迹为整数。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了在 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ 或 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb C)$ 中的格 $\Gamma$ 具有正迹间隙（即其迹是均匀分离的）当且仅当它来源于一个可容许的四元数代数。对于余紧富克斯群，这证明了由 Geninska 和 Leuzinger 于 2008 年归功于 Sarnak 的正迹间隙猜想。如果迹的差集不是稠密的，则同样的四元数代数刻画也成立。我们的方法还对 $\mathrm{SL}_d(\mathbb R)$ 中的格（对每个 $d\ge3$）给出了类似结果：格 $\Gamma<\mathrm{SL}_d(\mathbb R)$ 具有正迹间隙当且仅当其所有迹都是整数。等价地，在共轭后，它是 $\mathbb Q$ 上次数为 $d$ 的中心简单代数中一个序的范数一群的有限指数子群，且该代数在 $\mathbb R$ 上分裂。我们还讨论了谱后果以及这些结果和技术的其他应用。
英文摘要
We prove that a lattice $Γ$ in $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ or $\mathrm{PSL}_2(\mathbb C)$ has positive trace gap, meaning that its traces are uniformly separated, if and only if it is derived from an admissible quaternion algebra. For cocompact Fuchsian groups, this proves the positive trace gap conjecture attributed to Sarnak by Geninska and Leuzinger in 2008. The same characterization by quaternion algebras holds if the difference set of traces is not dense. Our method also gives a similar result for lattices in $\mathrm{SL}_d(\mathbb R)$, for every $d\ge3$: a lattice $Γ<\mathrm{SL}_d(\mathbb R)$ has positive trace gap if and only if all its traces are integers. Equivalently, after conjugation, it has finite index in the norm-one group of an order in a central simple algebra of degree $d$ over $\mathbb Q$ that splits over $\mathbb R$. We also discuss spectral consequences and other applications of the results and techniques.
发表机构
- University of Toronto Scarborough（多伦多大学士嘉堡分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
