秩二自由群中的 Pro-$\mathbf H_p$ 密度：模-$p$ 环面上的 Frobenius 判据
Pro-$\mathbf H_p$ density in the free group of rank two: a Frobenian criterion on the mod-$p$ torus
- Soochow University（苏州大学）
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AI总结：
本文研究秩二自由群中关于伪簇 $\mathbf H_p$ 的稠密性，证明素数集 $\mathfrak D(H)$ 由 Laurent 多项式 $g$ 在模 $p$ 环面上的零点决定，并给出其自然密度的可计算性及三种可能情形。
AI中文摘要：
设 $F$ 为秩二的自由群，对素数 $p$，令 $\mathbf H_p=\mathbf G_p*\mathbf{Ab}_{p-1}$ 为有限群的伪簇，其具有正规 $p$-子群且商群为交换群且指数整除 $p-1$。对于秩二且满足 $\ab_F(H)=F^{\ab}$ 的 $H$，我们确定了使 $H$ 在 $F$ 中为 $\mathbf H_p$-稠密的素数 $p$ 的集合 $\mathfrak D(H)$，并证明该素数集在 Serre 意义下是 Frobenius 的：它由附属于 $H$ 的单个 Laurent 多项式 $g$ 控制。我们证明 $p\in\mathfrak D(H)$ 当且仅当 $g$ 在环面 $(\F_p^\times)^2$ 上没有零点，因此 $\mathfrak D(H)$ 具有可计算的自然密度 $d(H)$。以下三种情形恰有一种成立：$\mathfrak D(H)$ 为所有素数的集合，它为有限集，或它既非全体也非有限且 $d(H)$ 满足 $\frac1{|G|}\le d(H)\le1-\frac1{|G|}$，其中 $G$ 为附属于 $g$ 的有限 Galois 群。
英文摘要：
Let $F$ be the free group of rank two and, for a prime $p$, let $\mathbf H_p=\mathbf G_p*\mathbf{Ab}_{p-1}$ be the pseudovariety of finite groups having a normal $p$-subgroup with abelian quotient of exponent dividing $p-1$. For $H$ of rank two with $\ab_F(H)=F^{\ab}$ we determine the set $\mathfrak D(H)$ of primes $p$ where $H$ is $\mathbf H_p$-dense in $F$, and we show that this prime set is Frobenian in the sense of Serre: it is governed by a single Laurent polynomial $g$ attached to $H$. We prove that $p\in\mathfrak D(H)$ if and only if $g$ has no zero on the torus $(\F_p^\times)^2$, and hence that $\mathfrak D(H)$ possesses a computable natural density $d(H)$. Exactly one of three cases holds: $\mathfrak D(H)$ is the set of all primes, it is finite, or it is neither and $d(H)$ satisfies $\frac1{|G|}\le d(H)\le1-\frac1{|G|}$, where $G$ is the finite Galois group attached to $g$.
