Poisson 算子的 Schwarz 压缩性
Schwarz-contractivity of the Poisson operator
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- Syracuse University（雪城大学）
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中文总结 AI 辅助
本文研究 Poisson 算子的 Schwarz 压缩性，给出实函数情形尖锐指数 4.109…，并证明复函数情形 $p\le 3$ 时成立，猜想临界指数为 4。
中文摘要 AI 辅助
我们称 Poisson 算子 $P_r$ 从空间 $X$ 到空间 $Y$ 是 Schwarz 压缩的，如果对所有 $0<r<1$ 都有 $\u2016P_r\u2016_{X\to Y}\u2264 r$ 成立。经典 Schwarz 引理是 $H^\u221e_0\to H^\u221e$ 的情形，其中下标表示零均值。我们关注非全纯情形 $L^\u221e_0 \to L^p$。对于实值函数，Schwarz 压缩性成立直至尖锐指数 $p_{\mathbb R}=4.109\ldots$。对于复值函数，我们证明了 $p\le 3$ 时的结果，并猜想临界指数为 $4$。
英文摘要
We say that the Poisson operator $P_r$ is Schwarz-contractive from a space $X$ to a space $Y$ if $\|P_r\|_{X\to Y}\le r$ holds for all $0<r<1$. The classical Schwarz lemma is the case $H^\infty_0\to H^\infty$, the subscript indicating zero mean. We are concerned with the non-holomorphic case $L^\infty_0 \to L^p$. For real functions Schwarz-contractivity holds up to the sharp exponent $p_{\mathbb R}=4.109\ldots$. For complex functions we prove it for $p\le 3$ and conjecture that the critical exponent is $4$.
