等价范数锥上的内蕴希尔伯特度量
Intrinsic Hilbert metrics on cones of equivalent norms
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- Instituto de Investigaciones y Estudios Superiores Económicos y Sociales, Universidad Veracruzana（经济与社会高级研究与经济学院，韦拉克鲁斯大学）
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中文总结 AI 辅助
本文研究等价范数锥上的内蕴Hilbert度量，通过引入三角亏量刻画内蕴部分，给出度量显式公式，并构造保持度量的锥嵌入映射。
中文摘要 AI 辅助
设 $X$ 为 Banach 空间，令 $\mathcal{N}(X)$ 表示 $X$ 上等价范数的族。我们研究其投影化空间 $\mathcal{N}'(X)$ 上由非负函数的环境锥所诱导的 Hilbert 射影度量，特别关注由锥 $\mathcal{N}(X)\cup\{0\}$ 所诱导的内蕴 Hilbert 度量。首先，我们证明 $\mathcal{N}'(X)$ 上的对称对数度量是由非负实值函数锥所诱导的 Hilbert 射影度量，并刻画了诱导相同度量的环境锥。接着，我们研究 $\mathcal{N}(X)$ 上的内蕴序。为此，我们引入三角亏量 $\Delta_p(x,y)=p(x)+p(y)-p(x+y)$，并证明两个范数 $p,q\in\mathcal{N}(X)$ 属于同一内蕴部分当且仅当它们的三角亏量一致可比较，即存在 $a,b>0$ 使得 $a\Delta_p\leq\Delta_q\leq b\Delta_p$。这给出了内蕴 Hilbert 度量关于范数及其三角亏量的逐点比较的显式公式。最后，映射 $\Phi(p)=(p,\Delta_p)$ 将 $\mathcal{N}(X)$ 的内蕴锥序实现于非负函数的典范乘积锥内，并在每个内蕴部分上保持 Hilbert 度量。
英文摘要
Let $X$ be a Banach space and let $\mathcal{N}(X)$ denote the family of equivalent norms on $X$. We study Hilbert projective metrics on its projectivization $\mathcal{N}'(X)$ induced by ambient cones of nonnegative functions, with particular attention to the intrinsic Hilbert metric induced by the cone $\mathcal{N}(X)\cup\{0\}$. First, we show that the symmetric logarithmic metric on $\mathcal{N}'(X)$ is the Hilbert projective metric induced by the cone of nonnegative real-valued functions, and we characterize the ambient cones that induce the same metric. We then study the intrinsic order on $\mathcal{N}(X)$. For this purpose, we introduce the triangular defect $Δ_p(x,y)=p(x)+p(y)-p(x+y)$ and prove that two norms $p,q\in\mathcal{N}(X)$ belong to the same intrinsic part if and only if their triangular defects are uniformly comparable, that is, $aΔ_p\leqΔ_q\leq bΔ_p$ for some $a,b>0$. This yields an explicit formula for the intrinsic Hilbert metric in terms of the pointwise comparison of the norms and of their triangular defects. Finally, the map $Φ(p)=(p,Δ_p)$ realizes the intrinsic cone order of $\mathcal{N}(X)$ inside a canonical product cone of nonnegative functions and preserves the Hilbert metric on each intrinsic part.
