发表机构
Faculty of Advanced Science and Technology, Kumamoto University（熊本大学先进科学技术学部）
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本文研究两个无界域及其界面上热方程的整体强解存在性，通过函数空间与极大正则性证明局部解，并利用能量等式在界面平缓及参数受限时证明大初值下唯一全局强解的存在。
AI 中文摘要
本文考虑了两个无界域 $\Omega_A$、$\Omega_B$ 及其界面 $\Gamma (= \partial \Omega_A \cap \partial \Omega_B)$ 上热方程的唯一全局时间强解的存在性。我们引入并研究了这两个无界域及界面上的若干函数空间。我们应用这些函数空间以及 Hilbert 空间值函数的极大 $L^p$-正则性，证明了我们的热方程局部时间强解的存在性。通过利用我们热系统的一个能量等式，我们证明了当界面斜率平缓且我们的参数受限时，具有大初始数据的系统存在唯一的全局时间强解。证明强解存在性的关键思想是将我们的系统变换为两个半空间 $\mathbb{R}^3_+, \mathbb{R}^3_-$ 及全空间 $\mathbb{R}^2$ 上的方程组，并利用 $\mathbb{R}^3_+$、$\mathbb{R}^3_-$ 和 $\mathbb{R}^2$ 的热半群和热核的良好性质。在附录(I)中，我们从能量的观点推导了这两个无界域及界面上的热方程。在附录(II)中，我们研究了无界域和曲面上的微分算子的表示公式。
英文摘要
This paper considers the existence of a unique global-in-time strong solution to the heat equations in two unbounded domains $Ω_A$, $Ω_B$ and the interface $Γ(= \partial Ω_A \cap \partial Ω_B)$. We introduce and study some function spaces in the two unbounded domains and the interface. We apply our function spaces and maximal $L^p$-regularity for Hilbert space-valued functions to show the existence of a local-in-time strong solution to our heat equations. By using an energy equality of our heat system, we prove the existence of a unique global-in-time strong solution to the system with large initial data when the slope of the interface is gentle and our parameters are limited. The key ideas for showing the existence of our strong solutions are to transform our system into a system of equations in two half spaces $\mathbb{R}^3_+, \mathbb{R}^3_-$ and the whole space $\mathbb{R}^2$, and to make use of nice properties of the heat semigroups and kernels for $\mathbb{R}^3_+$, $\mathbb{R}^3_-$, and $\mathbb{R}^2$. In Appendix (I), we derive our heat equations in the two unbounded domains and the interface from an energetic point of view. In Appendix (II), we study representation formulas for differential operators on unbounded domains and surfaces.
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