发表机构
School of Mathematics, Nanjing University; Department of Mathematics, Shanghai University; Newtouch Center for Mathematics of Shanghai University（南京大学数学系; 上海大学数学系; 上海大学新触数学中心）
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本文证明了奇数最大度非正则图谱半径的两个猜想：极限公式和极图度序列形式，并给出了精确的渐近展开。
AI 中文摘要
设 $\rho(n,d)$ 表示所有 $n$ 阶、最大度为 $d$ 的连通非正则图的邻接谱半径的最大值。达到该最大值的图称为极图。Liu [J. Combin. Theory Ser. B, 2024] 确定了 $d=3,4$ 时的极图，并对一般 $d$ 提出了两个猜想。对于每个固定的奇数 $d\ge3$，猜想断言：(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\bigl(d-\rho(n,d)\bigr) =(d-1)\pi^2/4$。(2) 对所有充分大的 $n$，每个极图的度序列在 $n$ 为奇数时为 $(d,\ldots,d,d-1)$，在 $n$ 为偶数时为 $(d,\ldots,d,1)$。我们证明了第一个猜想对每个固定的奇数 $d\ge3$ 成立，并且更精确地得到了渐近展开式 $\rho(n,d) =d-\frac{(d-1)\pi^2}{4n^2} +\frac{(d-1)^2\pi^2}{4n^3} +O_d(n^{-4}) \qquad(n\to\infty)$。我们进一步证明了第二个猜想对每个固定的奇数 $d\ge3$ 成立。
英文摘要
Let $ρ(n,d)$ denote the maximum adjacency spectral radius among all connected nonregular graphs of order $n$ and maximum degree $d$. A graph attaining this maximum is called an extremal graph. Liu [J. Combin. Theory Ser. B, 2024] determined the extremal graphs for $d=3,4$ and formulated two conjectures for general $d$. For each fixed odd integer $d\ge3$, the conjectures assert that: (1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\bigl(d-ρ(n,d)\bigr) =(d-1)π^2/4$. (2) For all sufficiently large $n$, the degree sequence of every extremal graph is $(d,\ldots,d,d-1)$ for odd $n$ and $(d,\ldots,d,1)$ for even $n$. We prove the first conjecture for every fixed odd $d\ge3$ and, more precisely, obtain the asymptotic expansion \[ ρ(n,d) =d-\frac{(d-1)π^2}{4n^2} +\frac{(d-1)^2π^2}{4n^3} +O_d(n^{-4}) \qquad(n\to\infty). \] We further prove the second conjecture for every fixed odd $d\ge3$.
Comments25 pages
