发表机构
Universidade de São Paulo; Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications; Aarhus University（圣保罗大学; 北京数学科学与应用研究院; 奥胡斯大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过精确序列建立 $H_2(\rm{SL}_2(\mathcal{O}_{K,S}), \mathbb{Z})$ 与 $K_2$ 的联系，描述其秩和挠群大小，并提出 Birch-Tate 公式的同调版本。
AI 中文摘要
本文中，我们获得了一个精确序列，将 $H_2(\rm{SL}_2(\mathcal{O}_{K,S}), \mathbb{Z})$ 与 $H_2(\rm{SL}_2(\mathcal{O}_{K,T}), \mathbb{Z})$ 联系起来，其中 $\mathcal{O}_{K,S}$ 是 $S$-整数环，$T$ 是包含 $S$ 的素数集合。我们应用该序列，在 $S$ 足够大的条件下，建立了 $H_2(\rm{SL}_2(\mathcal{O}_{K,S}), \mathbb{Z})$ 与第二 $K$-群 $K_2(\mathcal{O}_{K,S})$ 之间的关系。这导致了对 $H_2(\rm{SL}_2(\mathcal{O}_{K,S}), \mathbb{Z})$ 的秩和挠群大小的描述。作为应用，我们在这些假设下提出了 Birch-Tate 公式（猜想）的同调版本。
英文摘要
In this paper, we obtain an exact sequence connecting $H_2(\rm{SL}_2(\mathcal{O}_{K,S}), \mathbb{Z})$ to $H_2(\rm{SL}_2(\mathcal{O}_{K,T}), \mathbb{Z})$, where $\mathcal{O}_{K,S}$ is a ring of $S$-integers and $T$ is a set of primes containing $S$. We apply this sequence to establish a relation between $H_2(\rm{SL}_2(\mathcal{O}_{K,S}), \mathbb{Z})$ with the second $K$-group $K_2(\mathcal{O}_{K,S})$, for $S$ large enough. This leads to a description of the rank and size of the torsion of $H_2(\rm{SL}_2(\mathcal{O}_{K,S}), \mathbb{Z})$. As an application, we propose a homological version of the Birch-Tate formula (conjecture) under these assumptions.
Comments18 pages, 0 figures
