迈向对 Erdős-Gyárfás 反例的更结构化搜索
Towards a more structured search for Erdős-Gyárfás counter-examples
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中文总结 AI 辅助
该论文研究 Erdős-Gyárfás 猜想的最小反例结构，证明其 3 度顶点比例需大于 2/3，并利用该性质验证了多达 40 阶图、66 阶二部图和 48 阶三次图的猜想成立。
中文摘要 AI 辅助
Erdős-Gyárfás 猜想认为，每个最小度至少为 3 的图都包含一条长度为 2 的幂的环。我们证明了该猜想的任何最小反例的几个简单结构性质。特别地，其度数为 3 的顶点所占比例必须大于 $2/3$，从而改进了先前 $4/7$ 的界限（Carr, 2026）。此外，它要么是双连通的，要么是两个双连通图的 $1$-团和。通过利用这些性质中的一些，我们得以验证该猜想对所有阶数至多 40 的图、所有阶数至多 66 的二部图以及所有阶数至多 48 的三次图均成立。
英文摘要
The Erdős-Gyárfás conjecture posits that every graph with minimum degree at least three contains a cycle of length some power of two. We prove a few simple structural properties for any minimal counter-example to this conjecture. In particular, the fraction of its vertices of degree three must be greater than $2/3$, thus improving on the prior bound of $4/7$ (Carr, 2026). Furthermore, it is either biconnected or the $1$-clique-sum of two biconnected graphs. By exploiting some of these properties, we were able to verify the conjecture for every graph of order at most $40$, every bipartite graph of order at most $66$, and every cubic graph of order at most $48$.
发表机构
- National Institute for Research and Development in Informatics（国家信息与信息技术研究院）
- University of Bucharest（布加勒斯特大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
