Ornstein-Uhlenbeck 半群极大算子在加权 $L^p$ 空间上的有界性
Ornstein-Uhlenbeck semigroup maximal operator on weighted $L^p$ space
AI总结：
本文研究标准 Ornstein-Uhlenbeck 半群极大算子在加权 $L^p$ 空间上的有界性，引入 Muckenhoupt 型权重类 $A^\alpha_p$ 并证明其充分性，同时刻画局部极大算子的有界性等价于权重属于 $A_p^{loc}$ 类。
AI中文摘要：
设 $(\mathcal{H}\\_t)_{t \geq 0}$ 表示定义在配备高斯测度 $d\gamma(x) = e^{-|x|^2} dx$ 的环境空间 $\mathbb R^d$ 上的标准 Ornstein-Uhlenbeck 半群。进一步设 $\mathcal{H}^*(f)(x) = \sup_{t > 0} \mathcal{H}_t(|f|)(x)$ 为相应的极大算子。由于 $(\mathcal{H}_t)_{t \geq 0}$ 是 $(\mathbb R^d,d\gamma(x))$ 上的马尔可夫半群，众所周知 $\mathcal{H}^*$ 对所有 $1 < p \leq \infty$ 在 $L^p(\mathbb R^d,d\gamma(x))$ 上有界。我们证明 $\mathcal{H}^*$ 对 $1 < p <\infty$ 在加权空间 $L^p(\mathbb{R}^d,\omega(x)e^{-\frac{p}{2}|x|^2}dx)$ 上也有界，其中权重 $\omega\\,: \mathbb R^d \to (0,\infty)$ 属于某个 Muckenhoupt 型类 $A^\alpha_p$，这里 $\alpha \in [0,1)$。本质上，权重 $\omega$ 属于 $A^\alpha_p$ 当且仅当对所有包含在任意参考立方体 $N_\alpha(R_x) \subseteq \mathbb R^d$ 中的立方体 $Q$，有 $\omega(Q) \omega^{-\frac{1}{p-1}}(Q)^{p-1} \leq C |Q|^p$，其中精心选取的族 $(N_\alpha(R_x))_{x \in \mathbb R^d}$ 覆盖 $\mathbb R^d$，$N_\alpha(R_x)$ 包含 $x$，且 $N_\alpha(R_x)$ 的边长与 $1/\max(1,|x|)^\alpha$ 相当，常数仅依赖于 $d$。类 $A^\alpha_p$ 包含通常的 Muckenhoupt 类。我们还使用来自 \cite[Definition 2.2]{B} 的权重类 $A_p^{loc}$，其定义方式与 $A^\alpha_p$ 类似，但要求二进子立方体包含在某个基于高斯二进网格构建的 $N(R)$ 中（见下文），并且我们证明局部部分 $\sup_{t >0}\mathcal{H}_t(|f|\chi_{N(R_x)})(x)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^d,\omega(x)e^{-\frac{p}{2}|x|^2}dx)$ 上有界当且仅当 $\omega \in A^{loc}_p$。
英文摘要：
Let $(\mathcal{H}\_t)_{t \geq 0}$ denote the standard Ornstein-Uhlenbeck semigroup over ambient space $\mathbb R^d$ equipped with Gaussian measure $dγ(x) = e^{-|x|^2} dx$. Further let $\mathcal{H}^*(f)(x) = \sup_{t > 0} \mathcal{H}_t(|f|)(x)$ denote the associated maximal operator. Since $(\mathcal{H}_t)_{t \geq 0}$ is a Markovian semigroup over $(\mathbb R^d,dγ(x))$, it is well known that $\mathcal{H}^*$ is bounded on $L^p(\mathbb R^d,dγ(x))$ for all $1 < p \leq \infty$. We show that $\mathcal{H}^*$ is also bounded on the weighted space $L^p(\mathbb{R}^d,ω(x)e^{-\frac{p}{2}|x|^2}dx)$ for $1 < p <\infty$, for weights $ω\,: \mathbb R^d \to (0,\infty)$ belonging to a certain Muckenhoupt type class $A^α_p$, where $α\in [0,1)$. Essentially, a weight $ω$ belongs to $A^α_p$ if and only if $ω(Q) ω^{-\frac{1}{p-1}}(Q)^{p-1} \leq C |Q|^p$ for all cubes $Q$ contained in any reference cube $N_α(R_x) \subseteq \mathbb R^d$, where the well chosen family $(N_α(R_x))_{x \in \mathbb R^d}$ covers $\mathbb R^d$, $N_α(R_x)$ contains $x$ and the side length of $N_α(R_x)$ is comparable to $1/\max(1,|x|)^α$, with constants depending only on $d$. The class $A^α_p$ contains the usual Muckenhoupt class. We also use the weight class $A_p^{loc}$ from \cite[Definition 2.2]{B} defined in a similar way as $A^α_p$ but with dyadic subcubes contained in some $N(R)$ built over the Gaussian dyadic grid (see below), and we show that the local part $\sup_{t >0}\mathcal{H}_t(|f|χ_{N(R_x)})(x)$ is bounded on $L^p(\mathbb{R}^d,ω(x)e^{-\frac{p}{2}|x|^2}dx)$ if and only if $ω\in A^{loc}_p$.
