双向交错矩阵乘法与量子谐振子的算子分解
Bi-Oriented Interlaced Matrix Multiplication and an Operator Factorisation of the Quantum Harmonic Oscillator
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本文提出双向交错矩阵乘法，将其应用于量子谐振子，通过解耦为Sylvester方程并构造广义本征算子，实现算子分解。
中文摘要 AI 辅助
我们在一个含单位元、可能非结合的代数上的 $2\times 2$ 矩阵上引入了一种双向交错矩阵乘积，扩展了 Cayley--Dickson 加倍的一种矩阵助记法。当底层代数为交换代数时，相反方向 $X_R$ 和 $X_L$ 恰好重合。对于 $L^2(\mathbb{R})$ 上的典型位置和动量算子 $Q,P$，一个矩阵 $D$ 及其伴随矩阵 $\widetilde{D}$ 在共同的 Schwartz 域上满足 $\widetilde{D} X_R D =\widetilde{D} X_L D =2H Id_2$，其中 $H=(P^2+Q^2)/2$。我们研究了算子值列向量相关的交错特征值方程。组合 $\Phi=A+iB$ 和 $\Psi=A-iB$ 将方程解耦为双侧 Sylvester 方程。我们从位置和动量本征态构造了显式的秩一广义本征算子。它们的分布核属于双重 rigged Hilbert 空间 $S(\mathbb{R}^2)\subset L^2(\mathbb{R}^2) \subset S'(\mathbb{R}^2)$；相应的位置和动量算子作用于不同的张量因子，因此可交换。秩一族并未穷尽分布解：我们还展示了高阶广义解。我们区分了 Schwartz 核心上的代数恒等式与闭算子实现的相关问题。
英文摘要
We introduce a bi-oriented interlaced matrix product on $2\times 2$ matrices over a unital, possibly non-associative algebra, extending a matrix mnemonic for Cayley--Dickson doubling. The opposite orientations $X_R$ and $X_L$ coincide precisely when the underlying algebra is commutative. For the canonical position and momentum operators $Q,P$ on $L^2(\mathbb{R})$, a matrix $D$ and its companion $\widetilde{D}$ satisfy, on the common Schwartz domain, $\widetilde{D} X_R D =\widetilde{D} X_L D =2H Id_2$, where $H=(P^2+Q^2)/2$. We study the associated interlaced eigenvalue equations for operator-valued columns. The combinations $Φ=A+iB$ and $Ψ=A-iB$ decouple the equations into two-sided Sylvester equations. We construct explicit rank-one generalized eigenoperators from position and momentum eigenstates. Their distributional kernels belong to the doubled rigged Hilbert space $S(\mathbb{R}^2)\subset L^2(\mathbb{R}^2) \subset S'(\mathbb{R}^2)$; the corresponding position and momentum operators act on different tensor factors and therefore commute. The rank-one families do not exhaust the distributional solutions: higher-order generalized solutions are also exhibited. We distinguish the algebraic identities on the Schwartz core from questions concerning closed-operator realizations.
发表机构
- Université Paris Cité（巴黎西岱大学）
- CNRS（法国国家科学研究中心）
- Faculty of Mathematics, University of Białystok（比亚韦斯托克大学数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
