发表机构
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
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研究P^3上秩一平面支撑的稳定层，证明其模空间为对偶射影空间上通用平面的相对Hilbert概形，识别阻碍丛为相对Carlsson-Okounkov扭曲切丛，得到闭合乘积公式，并推广到Fano三维簇中刚性除子支撑的Donaldson-Thomas级数。
AI 中文摘要
设 $X=\mathbb{P}^3$，并令 \\[ \alpha_n=(0,1,-\tfrac12,\tfrac16-n)\in H^{\mathrm{even}}(X,\mathbb{Q}) \\] 相对于基 $1,H,H^2,H^3$，其中 $H=c_1(\mathcal{O}_X(1))$。我们证明 $X$ 上具有 Chern 特征 $\alpha_n$ 的每个 Gieseker 半稳定 sheaf 都是稳定的，并且唯一地具有形式 $\iota_{P*}\mathcal{I}_Z$，其中 $P\subset X$ 是一个平面，$Z\subset P$ 是一个长度 $n$ 的子概形。因此，粗稳定 sheaf 模空间是对偶射影空间 $X^{\vee}$ 上通用平面上的相对 Hilbert 点概形。利用 Fano 三维簇上稳定 sheaf 的标准完美阻碍理论，我们将阻碍丛识别为相对 Carlsson--Okounkov 扭曲切丛，并获得闭合乘积公式 \\[ \sum_{n\ge 0} \Gamma_n q^n=\prod_{m\ge 1}(1-q^m)^{-7} \\] 用于 $\mathbb{P}^3$ 上自然的点插入二维 Donaldson--Thomas 不变量。然后，我们为光滑射影 Fano 三维簇中的光滑除子 $D$ 发展类似的除子支撑理论，区分移动除子和刚性除子。对于满足 $H^1(D,\mathcal{O}_D)=0$ 的刚性除子，除子支撑的模分量是 $D$ 上的 Hilbert 点概形，其阻碍丛是扭曲切丛 $\mathsf{T}_D^{[n]}(N_{D/X})$，其生成级数为 \\[ \prod_{m\ge 1}(1-q^m)^{-(c_2(X)\cdot D+D^3)}. \\] 我们计算了 $\operatorname{Bl}_p\mathbb{P}^3$ 中例外除子以及 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 上 Fano $\mathbb{P}^1$-丛中刚性截面的例子。
英文摘要
Let $X=\mathbb{P}^3$ and let \[ α_n=(0,1,-\tfrac12,\tfrac16-n)\in H^{\mathrm{even}}(X,\mathbb{Q}) \] with respect to the basis $1,H,H^2,H^3$, where $H=c_1(\mathcal{O}_X(1))$. We prove that every Gieseker semistable sheaf on $X$ with Chern character $α_n$ is stable and uniquely of the form $ι_{P*}\mathcal{I}_Z$ for a plane $P\subset X$ and a length-$n$ subscheme $Z\subset P$. Hence the coarse stable-sheaf moduli space is the relative Hilbert scheme of points on the universal plane over the dual projective space $X^{\vee}$. Using the standard perfect obstruction theory for stable sheaves on a Fano threefold, we identify the obstruction bundle with a relative Carlsson--Okounkov twisted tangent bundle and obtain a closed product formula \[ \sum_{n\ge 0} Γ_n q^n=\prod_{m\ge 1}(1-q^m)^{-7} \] for the natural point-inserted two-dimensional Donaldson--Thomas invariants on $\mathbb{P}^3$. We then develop the analogous divisor-supported theory for a smooth divisor $D$ in a smooth projective Fano threefold, distinguishing moving and rigid divisors. For a rigid divisor satisfying $H^1(D,\mathcal{O}_D)=0$, the divisor-supported moduli component is a Hilbert scheme of points on $D$, its obstruction bundle is the twisted tangent bundle $\mathsf{T}_D^{[n]}(N_{D/X})$, and its generating series is \[ \prod_{m\ge 1}(1-q^m)^{-(c_2(X)\cdot D+D^3)}. \] We work out the examples of the exceptional divisor in $\operatorname{Bl}_p\mathbb{P}^3$ and of a rigid section in a Fano $\mathbb{P}^1$-bundle over $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$.
Comments27 pages
DOI：10.13140/RG.2.2.22799.04003
