AI 中文总结
本文研究加法链最小长度的分布，通过计数函数给出上下界，并推广了先前结果，回答了Erdős提出的问题。
AI 中文摘要
一个整数序列 $1=a_0<a_1<\cdots<a_k=n$ 若满足对所有整数 $j\in \{1,2,\ldots,k\}$ 有 $a_j=a_s+a_t$ 且 $0\le s,t<j$，则称为长度为 $k$ 的加法链。我们用 $\ell(n)$ 表示通向 $n$ 的加法链的最小长度。本文通过计数函数 $$ F(m,r):=\\#\{n\in [2^m,2^{m+1}):\ell(n)\le m+r\} $$ 研究函数 $\ell$ 的分布，并证明：对每个固定的 $0<c<\log 2$，存在正常数 $K_1$ 和 $K_2$，使得对所有充分大的 $m$ 以及所有满足 $m^{0.9}<r\le cm/\log m$ 的整数 $r$，有 $$ K_1^r m^r\le F(m,r)\le K_2^r m^r。$$ 上界对每个整数 $r>m^{0.9}$ 也成立。此外，用 $G(m,r)$ 表示通向整数 $n\in [2^m, 2^{m+1})$ 的长度为 $m+r$ 的\emph{不同}加法链的数目，我们证明存在正常数 $K_3$ 和 $K_4$，使得当 $m^{0.9}<r<m$ 时，有 $$ K_3^r \left(\frac{m^2}{r}\right)^r\le G\left(m,r\right)\le K_4^r \left(\frac{m^2}{r} \right)^r。$$ 这改进并推广了先前关于加法链最小长度的结果，并回答了 Paul Erdős 提出的一个问题。
英文摘要
A sequence of integers $1=a_0<a_1<\cdots<a_k=n$ is called an addition chain of length $k$ if $a_j=a_s+a_t$ with $0\le s,t<j$ for all integers $j\in \{1,2,\ldots,k\}$. We denote by $\ell(n)$ the minimal length of an addition chain leading to $n$. Here we investigate the distribution of the function $\ell$ through the counting function $$ F(m,r):=\#\{n\in [2^m,2^{m+1}):\ell(n)\le m+r\} $$ and show that, for every fixed $0<c<\log 2$, there exist positive constants $K_1$ and $K_2$ such that $$ K_1^r m^r\le F(m,r)\le K_2^r m^r $$ for all sufficiently large $m$ and all integers $m^{0.9}<r\le cm/\log m$. The upper bound also holds for every integer $r>m^{0.9}$. Moreover, denoting by $G(m,r)$ the number of \emph{distinct} addition chains of length $m+r$ leading to an integer $n\in [2^m, 2^{m+1})$, we show that there exist positive constants $K_3$ and $K_4$ such that $$ K_3^r \left(\frac{m^2}{r}\right)^r\le G\left(m,r\right)\le K_4^r \left(\frac{m^2}{r} \right)^r $$ provided $m^{0.9}<r<m$. This improves and generalizes previous results on the minimal length of addition chains and addresses a question raised by Paul Erdős.
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