Delta 特征与滤过等晶体
Delta Characters and Filtered Isocrystals
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中文总结 AI 辅助
本文证明 Borger-Saha 构造的原始 delta 特征模到 Hodge 序列的映射是同构，从而得到滤过等晶体结构，并给出 H^0 的特征理论解释及推广到半阿贝尔概形和晶体上同调比较定理。
中文摘要 AI 辅助
给定一个在 $p$-adic 环 $R$ 上的阿贝尔概形 $A$，Borger 和 Saha 利用算术喷射空间理论构造了一个滤过模 $\{\mathbf{H}_δ(A) \supset \mathbf{X}_{\mathrm{prim}}(A)\supset \{0\}\}$，并在 $\mathbf{H}_δ(A)$ 上配备了一个半线性算子 $\mathfrak{f}^*$。上述对象在滤过模范畴中具有一个典范映射 $Φ$ 到 $A$ 的 Hodge 序列 $\{\mathbf{H}^1_{\mathrm{dR}}(A) \supset H^0(A,Ω_A)\supset \{0\}\}$。因此，通过限制 $Φ$，我们获得一个自然的 $R$-线性映射 $Υ: \mathbf{X}_{\mathrm{prim}}(A) \rightarrow H^0(A,Ω_A)$。\n 在本文中，我们证明映射 $Υ$ 是 $K$（$R$ 的分式域）上的向量空间同构。作为推论，我们将证明对所有阿贝尔概形 $A$，$\mathbf{H}_δ(A)_K$ 上的算子 $\mathfrak{f}^*$ 是双射，并且我们的对象 $\{\mathbf{H}_δ(A)_K \supset \mathbf{X}_{\mathrm{prim}}(A)_K\supset \{0\}\}$ 成为一个滤过等晶体。事实上，上述结果可以推广到半阿贝尔概形的设置。$\mathbf{X}_{\mathrm{prim}}(A)$ 的元素由附属于 $A$ 的算术喷射空间的原始加法特征表示。因此，我们由 $Υ$ 给出的同构提供了 $H^0(A,Ω_A)$ 的一个有趣的、基于原始 delta 特征的特征理论解释。由此，对任意 $1$-形式 $ω$，上述同构关联一个典范数值不变量，该不变量依赖于 $A$ 的形变理论数据。\n 此外，在椭圆曲线 $A$ 定义在 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张 $K$ 的 $p$-adic 域的整数环上的一般情形下，我们还扩展了 $\mathbf{H}_δ(A)_K$ 与第一晶体上同调 $\mathbf{H}_{\mathrm{cris}}^1(A)_K$ 之间的比较定理。
英文摘要
Given an abelian scheme $A$ over a $p$-adic ring $R$, Borger and Saha constructed a filtered module $\{\mathbf{H}_δ(A) \supset \mathbf{X}_{\mathrm{prim}}(A)\supset \{0\}\}$ with a semilinear operator $\mathfrak{f}^*$ on $\mathbf{H}_δ(A)$ using the theory of arithmetic jet spaces. The above object admits a canonical map $Φ$ to the Hodge sequence $\{\mathbf{H}^1_{\mathrm{dR}}(A) \supset H^0(A,Ω_A)\supset \{0\}\}$ of $A$ in the category of filtered modules. As a result, by restricting $Φ$, we obtain a natural $R$-linear map $Υ: \mathbf{X}_{\mathrm{prim}}(A) \rightarrow H^0(A,Ω_A)$. In this paper, we show that the map $Υ$ is an isomorphism of vector spaces over $K$, the field of fractions of $R$. As a consequence, we will show that for all abelian schemes $A$, the operator $\mathfrak{f}^*$ on $\mathbf{H}_δ(A)_K$ is a bijection, and our object $\{\mathbf{H}_δ(A)_K \supset \mathbf{X}_{\mathrm{prim}}(A)_K\supset \{0\}\}$ becomes a filtered isocrystal. In fact, the above results admit a generalization to the setting of semi-abelian schemes. The elements of $\mathbf{X}_{\mathrm{prim}}(A)$ are represented by primitive additive characters of the arithmetic jet spaces attached to $A$. Hence, our isomorphism given by $Υ$ provides an interesting character-theoretic interpretation of $H^0(A,Ω_A)$ in terms of primitive delta characters. As a result, to any $1$-form $ω$, the above isomorphism associates a canonical numerical invariant that depends on deformation theoretic data of $A$. Furthermore, we also extend a comparison theorem between $\mathbf{H}_δ(A)_K$ and the first crystalline cohomology $\mathbf{H}_{\mathrm{cris}}^1(A)_K$ in the general case when the elliptic curve $A$ is defined over the ring of integers of a $p$-adic field $K$ that is a finite extension of $\mathbb{Q}_p$.
发表机构
- University of Melbourne（墨尔本大学）
- King’s College London（伦敦国王学院）
- Indian Institute of Technology Gandhinagar（甘地纳加尔印度理工学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
