发表机构
IMSc; Graduate School of Mathematics, Nagoya University（印度数学科学研究所; 名古屋大学大学院数学研究科）
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本文研究类型 A_r 根系 zeta 函数在非正整数点的取值，引入有序极限值定义奇点处值，给出显式或递推公式，证明三个有序极限值在特定条件下消失（多变量平凡零点类比），并探讨其他零点与经典 Eisenstein 级数恒等式的可能联系。
AI 中文摘要
本文研究了根系 zeta 函数在非正整数点处的取值。特别地，我们关注类型 $\mathrm{A}_r$ 的 zeta 函数。由于非正整数点包含在根系 zeta 函数的奇点集合中，我们引入\emph{有序极限值}来定义这些取值。我们研究了四个特定的有序极限值，并给出了它们的显式公式，或允许我们归纳计算它们的递推公式。随后，我们证明了类型 $\mathrm{A}_r$ 的 zeta 函数的三个有序极限值在某些条件下消失，这些条件可视为黎曼 zeta 函数平凡零点的多变量类比。最后，我们讨论了类型 $\mathrm{A}_r$ 的 zeta 函数在非正整数点处的其他零点，以及这些零点与经典 Eisenstein 级数之间的非平凡恒等式之间可能存在的联系。
英文摘要
In this paper, we investigate the values of zeta functions of root systems at non-positive integer points. In particular, we focus on the zeta functions of type $\mathrm{A}_r$. Since non-positive integer points are included in the set of singularities of zeta functions of root systems, we introduce the \emph{ordered limit values} to define those values. We study four particular ordered limit values and give explicit formulas for them, or recurrence formulas that allow us to calculate them inductively. We then prove that three ordered limit values of zeta functions of type $\mathrm{A}_r$ vanish under some conditions that can be regarded as a multivariable analogue of the trivial zeros of the Riemann zeta function. Finally, we discuss the other zeros of zeta functions of type $\mathrm{A}_r$ at non-positive integer points and a possible connection of such zeros and non-trivial identities among classical Eisenstein series.
Comments24 pages
