Rankin-Cohen 配对与 Hilbert Hecke 特征形式乘积恒等式
Rankin-Cohen Pairings and Hilbert Hecke Eigenform Product Identities
- School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）
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中文总结 AI 辅助
本文在全实域上建立了 Hilbert Rankin-Cohen 括号的 Petersson-Rankin-Selberg 恒等式，推广了先前结果，并应用于去除 GRH 假设，从而在实二次域上分类了 Hecke 特征形式的乘积恒等式。
中文摘要 AI 辅助
我们在次数大于一且窄类数任意的全实域上，为 Hilbert Rankin-Cohen 括号建立了 Petersson-Rankin-Selberg 恒等式。这推广了 Zhang-Zhang 和 Zhang-Zhou 的结果。对于偶数 $k,\ell\ge 2$，$r\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$，$K=k+\ell+2r$，以及归一化的全水平尖点 Hecke 特征元组 $f\in S_K(\omega_f)$ 和 $h\in S_\ell(\omega_h)$，我们证明 $\langle f,[E_k,h]_r\rangle=C_{F,k,\ell,r}L^S(k/2,\Pi(f)\times\Pi(h)^\vee)/L_F(k,\omega_f\omega_h^{-1})\ne 0$，其中 $C_{F,k,\ell,r}>0$。特化到 $k=2$ 时，我们移除了 Hao-Qin-Zhou 乘积分类中剩余的 GRH 假设。因此，在窄类数为一的实二次域上，对于偶数平行权至少为二的全水平 Hecke 特征形式，除了因子交换之外，唯一的乘积恒等式是 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 上的 $E_4^{\mathrm{eig}}=60(E_2^{\mathrm{eig}})^2$ 和 $h_8=120E_2^{\mathrm{eig}}h_6$。
英文摘要
We establish a Petersson-Rankin-Selberg identity for Hilbert Rankin-Cohen brackets over totally real fields of degree greater than one and arbitrary narrow class number. This extends results of Zhang-Zhang and Zhang-Zhou. For even $k,\ell\ge 2$, $r\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$, $K=k+\ell+2r$, and normalized full-level cuspidal Hecke eigentuples $f\in S_K(ω_f)$ and $h\in S_\ell(ω_h)$, we show $\langle f,[E_k,h]_r\rangle=C_{F,k,\ell,r}L^S(k/2,Π(f)\timesΠ(h)^\vee)/L_F(k,ω_fω_h^{-1})\ne 0$, where $C_{F,k,\ell,r}>0$. Specializing to $k=2$, we remove the remaining GRH assumption in the product classification of Hao-Qin-Zhou. Hence, over real quadratic fields of narrow class number one, the only full-level product identities among Hecke eigenforms of even parallel weights at least two, up to interchanging the factors, are $E_4^{\mathrm{eig}}=60(E_2^{\mathrm{eig}})^2$ and $h_8=120E_2^{\mathrm{eig}}h_6$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$.
