发表机构
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia; University of Southern California; University of Lincoln; University of Brasilia（摩德纳和雷焦艾米利亚大学; 南加州大学; 林肯大学; 巴西利亚大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究有限群中由换位子生成的子群的秩，证明可解群导子群具有有界秩，并在一般情形下给出秩的界，依赖于有限单群分类。
AI 中文摘要
对于有限群 $G$ 的子集 $S$，设 $I_G(S)$ 表示换位子 $[g,x]=g^{-1}g^x$ 的集合，其中 $g\in G$，$x\in S$。假设有限群 $G$ 有一个 Carter 子群 $C$，即一个包含其正规化子的幂零子群。假设由 $I_G(C)$ 的子集生成的任何子群都是 $r$-生成的。我们证明，如果 $G$ 是可解的，则导子群 $G'$ 具有 $r$-有界秩。我们构造例子表明可解性条件不能去掉。对于任何有限群，我们证明 $G'$ 的秩是 $(r,l)$-有界的，其中 $l$ 是 $G$ 的与 $PSL_2(q)$（$q\equiv 7\\,(\operatorname{mod}8)$）同构的合成因子的最大秩。我们还证明在一般情形下，若附加条件：对于任意 $x\in I_G(C)$，由 $I_G(x)$ 的子集生成的任何子群都是 $r$-生成的，则 $G'$ 具有 $r$-有界秩。证明依赖于有限单群分类，利用它我们证明：如果有限单群 $G$ 有一个素数阶 $p$ 的元素 $x$，使得由 $I_G(x)$ 的子集生成的任何子群都是 $r$-生成的，则 $G$ 具有 $r$-有界（Prüfer）秩，或者当 $p=2$ 时同构于 $PSL_2(q)$（$q\equiv 3\\,(\operatorname{mod}4)$），当 $p\ne 2$ 时同构于 $PSL_2(q)$（$q\equiv -1\\,(\operatorname{mod} p)$）。
英文摘要
For a subset $S$ of a finite group $G$, let $I_G(S)$ denote the set of commutators $[g,x]=g^{-1}g^x$, where $g\in G$ and $x\in S$. Suppose that a finite group $G$ has a Carter subgroup $C$, that is, a nilpotent subgroup containing its normalizer. Suppose that any subgroup generated by a subset of $I_G(C)$ is $r$-generated. We prove that if $G$ is soluble, then the derived subgroup $G'$ has $r$-bounded rank. We produce examples showing that the solubility condition cannot be dropped. For any finite group, we prove that the rank of $G'$ is $(r,l)$-bounded, where $l$ is the maximum rank of composition factors of $G$ isomorphic to $PSL_2(q)$ for $q\equiv 7\,(\operatorname{mod}8)$. We also prove in the general case that $G'$ has $r$-bounded rank under the additional condition that for any $x\in I_G(C)$, any subgroup generated by a subset of $I_G(x)$ is $r$-generated. The proofs rely on the classification of finite simple groups, using which we prove that if a finite simple group $G$ has an element $x$ of prime order $p$ such that any subgroup generated by a subset of $I_G(x)$ is $r$-generated, then $G$ has $r$-bounded (Prüfer) rank or is isomorphic to $PSL_2(q)$ with $q \equiv 3\,(\operatorname{mod}4)$ when $p=2$, or to $PSL_2(q)$ with $q \equiv -1\,(\operatorname{mod} p)$ when $p\ne 2$.
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