AI 中文总结
本文针对双曲素数定理，研究无平方因子距离的渐近计数，无条件证明主项阶为 x，并利用加权线性筛得到至多 7 个素因子时的下界，同时推广到更一般的分布假设。
AI 中文摘要
Friedlander 和 Iwaniec 证明了：对于素数 $p\le x$，轨道 $\{γi \colon γ\in\SL_2(\Z)\}$ 中与上半平面原点 $i$ 距离为 $p-2$ 的点的数量阶为 $x/\log x$；上界是无条件的，而下界则依赖于关于算术级数中素数分布的一个强假设。我们转而考虑无平方因子距离，并无条件证明了一个渐近公式，其主项阶为 $x$。利用加权线性筛，我们还无条件证明了：具有至多 $7$ 个素因子的无平方因子距离 $n$ 的贡献为 $\gg x/\log x$。最后，假设序列 $r(n-2)r(n+2)$ 在算术级数中具有分布水平 $x^θ$（其中 $r(n)$ 是将 $n$ 表示为两个平方数之和的方法数），我们得到了具有至多 $N$ 个素因子的距离的相同下界（$7$ 对应于 $θ=1/6$）。
英文摘要
Friedlander and Iwaniec proved that the number of points of the orbit $\{γi \colon γ\in\SL_2(\Z)\}$ lying at a distance $p-2$ from the origin $i$ of the upper half-plane, with $p\le x$ prime, is of order $x/\log x$; the upper bound is unconditional, while the lower one rests on a strong hypothesis concerning the distribution of primes in arithmetic progressions. We consider instead square-free distances and prove unconditionally an asymptotic formula, whose main term is of order $x$. Employing the weighted linear sieve, we also show unconditionally that the square-free distances $n$ with at most $7$ prime factors contribute $\gg x/\log x$. Finally, assuming that the sequence $r(n-2)r(n+2)$ has level of distribution $x^θ$ in arithmetic progressions, where $r(n)$ is the number of ways to write $n$ as a sum of two squares, we obtain the same lower bound for the distances with at most $N$ prime factors (the value $7$ corresponds to $θ=1/6$).
