发表机构
Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne; CNRS, Centre d’Économie de la Sorbonne（巴黎第一大学; 法国国家科学研究中心，索邦经济中心）
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本研究通过复制方法和种群动力学算法，解析了稀疏Wishart噪声中秩一信号恢复的相变阈值，并验证了与稠密极限下BBP相变的一致性。
AI 中文摘要
我们研究了在稀疏Wishart类噪声存在下信号向量 $\mathbf{x}$ 的高维恢复问题。我们定义了一个 $N \times N$ 矩阵 $A = J+(θ/N)\mathbf{xx}^{\top}$，其中 $\mathbf{xx}^{\top}$ 是随机噪声矩阵 $J$ 的秩一变形。我们考虑一个Wishart类矩阵 $J={X}^{\top} X$，其中 $X$ 是一个稀疏的 $M \times N$ 随机矩阵，其元素 $X_{ij} = c_{ij}W_{ij}$，其中 $c_{ij}$ 调节非零元素的密度，$W_{ij}$ 为键权重。利用复制方法，我们解析计算了 $A$ 的顶部特征对统计量，以及它们对信号强度 $θ$、矩形比 $α=\sqrt{M/N}$ 和噪声平均连接度的依赖关系。谱观测量通过递归分布方程系统表达，并通过种群动力学算法高效求解。这些方程使我们能够计算平均最大特征值 $\langleλ_1\rangle_{A}$、平均顶部特征向量分量密度，以及 $A$ 的顶部特征向量与 $\mathbf{x}$ 之间的平均重叠。我们确定了一个临界阈值 $θ_{\mathrm{crit}}$——取决于噪声的平均连接度——它标志着一个类似BBP的相变：低于此值时，$\langleλ_1\rangle_{A}$ 不受信号影响，重叠消失。因此，信号无法从 $A$ 的顶部特征向量中恢复。当 $θ>θ_{\mathrm{crit}}$ 时，与信号相关的外围特征值成为 $\langleλ_1\rangle_{A}$，重叠非零，从而允许信号恢复。结果与数值对角化高度一致。我们表明，在稠密极限下，恢复阈值和特征统计量收敛到经典BBP相变对稠密Wishart矩阵加性秩一变形所预测的结果。
英文摘要
We study the high-dimensional recovery of a signal vector $\mathbf{x}$ in the presence of sparse Wishart-like noise. We define an $N \times N$ matrix $A = J+(θ/N)\mathbf{xx}^{\top}$, where $\mathbf{xx}^{\top}$ is the rank-one deformation of the random noise matrix $J$. We consider a Wishart-like matrix $J={X}^{\top} X$, where $X$ is a sparse $M \times N$ random matrix with entries $X_{ij} = c_{ij}W_{ij}$, with $c_{ij}$ regulating the density of non-zero elements, and $W_{ij}$ the bond weights. Using the replica method, we compute analytically the top eigenpair statistics of $A$, and their dependence on the signal strength $θ$, the rectangularity ratio $α=\sqrt{M/N}$, and the average connectivity of the noise. The spectral observables are expressed in terms of a system of Recursive Distributional Equations, which are efficiently solved via a Population Dynamics algorithm. They allow us to compute the average largest eigenvalue $\langleλ_1\rangle_{A}$, the average top eigenvector component density, and the average overlap between the top eigenvector of $A$ and $\mathbf{x}$. We identify a critical threshold $θ_{\mathrm{crit}}$--depending on the average connectivity of the noise--that marks a BBP-like phase transition: below this value, $\langleλ_1\rangle_{A}$ is unaffected by the signal, and the overlap vanishes. Thus, the signal is not recoverable from the top eigenvector of $A$. For $θ>θ_{\mathrm{crit}}$, the signal-related outlier eigenvalue becomes $\langleλ_1\rangle_{A}$ and the overlap is nonzero, allowing for recovery of the signal. The results are in excellent agreement with numerical diagonalisation. We show that in the dense limit, the recovery threshold and eigen-statistics converge to the results predicted by the classical BBP transition for additive rank-one deformations of dense Wishart matrices.
Comments60 pages, 9 figures
