AI 中文总结
该研究构造了一个反例，证明在 $d\geq 3$ 且 $p>2$ 接近 $2$ 时，$p$-调和函数的渐近均值性质在逐点意义下不成立，并给出了反例成立的 $p$ 值范围。
AI 中文摘要
我们给出一个反例，表明在 $\mathbb R^d$ 中，当 $d\geq 3$ 且 $p>2$ 接近 $2$ 时，$p$-调和函数的渐近均值性质不一定在逐点意义下成立。证明使用了从 $p=2$ 出发的扰动论证和隐函数定理来建立该反例。我们还使用计算机辅助证明给出了反例成立的 $p$ 值的显式范围。最后，我们还建立了逐点渐近变分均值性质的一个反例。
英文摘要
We give a counterexample showing that an asymptotic mean value property for $p$-harmonic functions in $\mathbb R^d$ does not necessarily hold in the pointwise sense for $d\geq 3$ and $p>2$ near $2$. The proof uses a perturbation argument from $p=2$ and the Implicit Function Theorem to establish the counterexample. We also use a computer assisted proof to give an explicit range of values of $p$ for which the counterexample holds. Finally, we also establish a counterexample for the pointwise asymptotic variational mean value property.
